3.1. 线性回归
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回归(regression)是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。 在自然科学和社会科学领域,回归经常用来表示输入和输出之间的关系。

在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测(prediction)有关。 当我们想预测一个数值时,就会涉及到回归问题。 常见的例子包括:预测价格(房屋、股票等)、预测住院时间(针对住院病人等)、 预测需求(零售销量等)。 但不是所有的预测都是回归问题。 在后面的章节中,我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。

3.1.1. 线性回归的基本元素

线性回归(linear regression)可以追溯到19世纪初, 它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。 线性回归基于几个简单的假设: 首先,假设自变量\(\mathbf{x}\)和因变量\(y\)之间的关系是线性的, 即\(y\)可以表示为\(\mathbf{x}\)中元素的加权和,这里通常允许包含观测值的一些噪声; 其次,我们假设任何噪声都比较正常,如噪声遵循正态分布。

为了解释线性回归,我们举一个实际的例子: 我们希望根据房屋的面积(平方英尺)和房龄(年)来估算房屋价格(美元)。 为了开发一个能预测房价的模型,我们需要收集一个真实的数据集。 这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。 在机器学习的术语中,该数据集称为训练数据集(training data set) 或训练集(training set)。 每行数据(比如一次房屋交易相对应的数据)称为样本(sample), 也可以称为数据点(data point)或数据样本(data instance)。 我们把试图预测的目标(比如预测房屋价格)称为标签(label)或目标(target)。 预测所依据的自变量(面积和房龄)称为特征(feature)或协变量(covariate)。

通常,我们使用\(n\)来表示数据集中的样本数。 对索引为\(i\)的样本,其输入表示为\(\mathbf{x}^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)}]^\top\), 其对应的标签是\(y^{(i)}\)

3.1.1.1. 线性模型

线性假设是指目标(房屋价格)可以表示为特征(面积和房龄)的加权和,如下面的式子:

(3.1.1)\[\mathrm{price} = w_{\mathrm{area}} \cdot \mathrm{area} + w_{\mathrm{age}} \cdot \mathrm{age} + b.\]

(3.1.1)中的\(w_{\mathrm{area}}\)\(w_{\mathrm{age}}\) 称为权重(weight),权重决定了每个特征对我们预测值的影响。 \(b\)称为偏置(bias)、偏移量(offset)或截距(intercept)。 偏置是指当所有特征都取值为0时,预测值应该为多少。 即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年,我们仍然需要偏置项。 如果没有偏置项,我们模型的表达能力将受到限制。 严格来说, (3.1.1)是输入特征的一个 仿射变换(affine transformation)。 仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换(linear transformation), 并通过偏置项来进行平移(translation)。

给定一个数据集,我们的目标是寻找模型的权重\(\mathbf{w}\)和偏置\(b\), 使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。 输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定,仿射变换由所选权重和偏置确定。

而在机器学习领域,我们通常使用的是高维数据集,建模时采用线性代数表示法会比较方便。 当我们的输入包含\(d\)个特征时,我们将预测结果\(\hat{y}\) (通常使用“尖角”符号表示\(y\)的估计值)表示为:

(3.1.2)\[\hat{y} = w_1 x_1 + ... + w_d x_d + b.\]

将所有特征放到向量\(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d\)中, 并将所有权重放到向量\(\mathbf{w} \in \mathbb{R}^d\)中, 我们可以用点积形式来简洁地表达模型:

(3.1.3)\[\hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b.\]

(3.1.3)中, 向量\(\mathbf{x}\)对应于单个数据样本的特征。 用符号表示的矩阵\(\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}\) 可以很方便地引用我们整个数据集的\(n\)个样本。 其中,\(\mathbf{X}\)的每一行是一个样本,每一列是一种特征。

对于特征集合\(\mathbf{X}\),预测值\(\hat{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^n\) 可以通过矩阵-向量乘法表示为:

(3.1.4)\[{\hat{\mathbf{y}}} = \mathbf{X} \mathbf{w} + b\]

这个过程中的求和将使用广播机制 (广播机制在 2.1.3节中有详细介绍)。 给定训练数据特征\(\mathbf{X}\)和对应的已知标签\(\mathbf{y}\), 线性回归的目标是找到一组权重向量\(\mathbf{w}\)和偏置\(b\): 当给定从\(\mathbf{X}\)的同分布中取样的新样本特征时, 这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

虽然我们相信给定\(\mathbf{x}\)预测\(y\)的最佳模型会是线性的, 但我们很难找到一个有\(n\)个样本的真实数据集,其中对于所有的\(1 \leq i \leq n\)\(y^{(i)}\)完全等于\(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)}+b\)。 无论我们使用什么手段来观察特征\(\mathbf{X}\)和标签\(\mathbf{y}\), 都可能会出现少量的观测误差。 因此,即使确信特征与标签的潜在关系是线性的, 我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

在开始寻找最好的模型参数(model parameters)\(\mathbf{w}\)\(b\)之前, 我们还需要两个东西: (1)一种模型质量的度量方式; (2)一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

3.1.1.2. 损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合(fit)数据之前,我们需要确定一个拟合程度的度量。 损失函数(loss function)能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。 通常我们会选择非负数作为损失,且数值越小表示损失越小,完美预测时的损失为0。 回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 当样本\(i\)的预测值为\(\hat{y}^{(i)}\),其相应的真实标签为\(y^{(i)}\)时, 平方误差可以定义为以下公式:

(3.1.5)\[l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2.\]

常数\(\frac{1}{2}\)不会带来本质的差别,但这样在形式上稍微简单一些 (因为当我们对损失函数求导后常数系数为1)。 由于训练数据集并不受我们控制,所以经验误差只是关于模型参数的函数。 为了进一步说明,来看下面的例子。 我们为一维情况下的回归问题绘制图像,如 图3.1.1所示。

../_images/fit-linreg.svg

图3.1.1 用线性模型拟合数据。

由于平方误差函数中的二次方项, 估计值\(\hat{y}^{(i)}\)和观测值\(y^{(i)}\)之间较大的差异将导致更大的损失。 为了度量模型在整个数据集上的质量,我们需计算在训练集\(n\)个样本上的损失均值(也等价于求和)。

(3.1.6)\[L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.\]

在训练模型时,我们希望寻找一组参数(\(\mathbf{w}^*, b^*\)), 这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式:

(3.1.7)\[\mathbf{w}^*, b^* = \operatorname*{argmin}_{\mathbf{w}, b}\ L(\mathbf{w}, b).\]

3.1.1.3. 解析解

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。 与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同,线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来, 这类解叫作解析解(analytical solution)。 首先,我们将偏置\(b\)合并到参数\(\mathbf{w}\)中,合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。 我们的预测问题是最小化\(\|\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}\|^2\)。 这在损失平面上只有一个临界点,这个临界点对应于整个区域的损失极小点。 将损失关于\(\mathbf{w}\)的导数设为0,得到解析解:

(3.1.8)\[\mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y}.\]

像线性回归这样的简单问题存在解析解,但并不是所有的问题都存在解析解。 解析解可以进行很好的数学分析,但解析解对问题的限制很严格,导致它无法广泛应用在深度学习里。

3.1.1.4. 随机梯度下降

即使在我们无法得到解析解的情况下,我们仍然可以有效地训练模型。 在许多任务上,那些难以优化的模型效果要更好。 因此,弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。

本书中我们用到一种名为梯度下降(gradient descent)的方法, 这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。 它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数(数据集中所有样本的损失均值) 关于模型参数的导数(在这里也可以称为梯度)。 但实际中的执行可能会非常慢:因为在每一次更新参数之前,我们必须遍历整个数据集。 因此,我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本, 这种变体叫做小批量随机梯度下降(minibatch stochastic gradient descent)。

在每次迭代中,我们首先随机抽样一个小批量\(\mathcal{B}\), 它是由固定数量的训练样本组成的。 然后,我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数(也可以称为梯度)。 最后,我们将梯度乘以一个预先确定的正数\(\eta\),并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程(\(\partial\)表示偏导数):

(3.1.9)\[(\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b).\]

总结一下,算法的步骤如下: (1)初始化模型参数的值,如随机初始化; (2)从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数,并不断迭代这一步骤。 对于平方损失和仿射变换,我们可以明确地写成如下形式:

(3.1.10)\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}\end{split}\]

公式 (3.1.10)中的\(\mathbf{w}\)\(\mathbf{x}\)都是向量。 在这里,更优雅的向量表示法比系数表示法(如\(w_1, w_2, \ldots, w_d\))更具可读性。 \(|\mathcal{B}|\)表示每个小批量中的样本数,这也称为批量大小(batch size)。 \(\eta\)表示学习率(learning rate)。 批量大小和学习率的值通常是手动预先指定,而不是通过模型训练得到的。 这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数(hyperparameter)。 调参(hyperparameter tuning)是选择超参数的过程。 超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的, 而训练迭代结果是在独立的验证数据集(validation dataset)上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后(或者直到满足某些其他停止条件后), 我们记录下模型参数的估计值,表示为\(\hat{\mathbf{w}}, \hat{b}\)。 但是,即使我们的函数确实是线性的且无噪声,这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。 因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛,但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。 但是对像深度神经网络这样复杂的模型来说,损失平面上通常包含多个最小值。 深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数,使得在训练集上的损失达到最小。 事实上,更难做到的是找到一组参数,这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失, 这一挑战被称为泛化(generalization)。

3.1.1.5. 用模型进行预测

给定“已学习”的线性回归模型\(\hat{\mathbf{w}}^\top \mathbf{x} + \hat{b}\), 现在我们可以通过房屋面积\(x_1\)和房龄\(x_2\)来估计一个(未包含在训练数据中的)新房屋价格。 给定特征估计目标的过程通常称为预测(prediction)或推断(inference)。

本书将尝试坚持使用预测这个词。 虽然推断这个词已经成为深度学习的标准术语,但其实推断这个词有些用词不当。 在统计学中,推断更多地表示基于数据集估计参数。 当深度学习从业者与统计学家交谈时,术语的误用经常导致一些误解。

3.1.2. 矢量化加速

在训练我们的模型时,我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。 为了实现这一点,需要我们对计算进行矢量化, 从而利用线性代数库,而不是在Python中编写开销高昂的for循环。

%matplotlib inline
import math
import time
from mxnet import np
from d2l import mxnet as d2l
%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l
%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l
%matplotlib inline
import warnings
from d2l import paddle as d2l

warnings.filterwarnings("ignore")
import math
import time
import numpy as np
import paddle

为了说明矢量化为什么如此重要,我们考虑对向量相加的两种方法。 我们实例化两个全为1的10000维向量。 在一种方法中,我们将使用Python的for循环遍历向量; 在另一种方法中,我们将依赖对+的调用。

n = 10000
a = np.ones([n])
b = np.ones([n])
[07:13:03] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU
n = 10000
a = torch.ones([n])
b = torch.ones([n])
n = 10000
a = tf.ones([n])
b = tf.ones([n])
n = 10000
a = paddle.ones([n])
b = paddle.ones([n])

由于在本书中我们将频繁地进行运行时间的基准测试,所以我们定义一个计时器:

class Timer:  #@save
    """记录多次运行时间"""
    def __init__(self):
        self.times = []
        self.start()

    def start(self):
        """启动计时器"""
        self.tik = time.time()

    def stop(self):
        """停止计时器并将时间记录在列表中"""
        self.times.append(time.time() - self.tik)
        return self.times[-1]

    def avg(self):
        """返回平均时间"""
        return sum(self.times) / len(self.times)

    def sum(self):
        """返回时间总和"""
        return sum(self.times)

    def cumsum(self):
        """返回累计时间"""
        return np.array(self.times).cumsum().tolist()

现在我们可以对工作负载进行基准测试。

首先,我们使用for循环,每次执行一位的加法。

c = np.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
'4.33872 sec'
c = torch.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.16749 sec'
c = tf.Variable(tf.zeros(n))
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i].assign(a[i] + b[i])
f'{timer.stop():.5f} sec'
'9.51930 sec'
c = paddle.zeros([n])
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
'1.27662 sec'

或者,我们使用重载的+运算符来计算按元素的和。

timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.00024 sec'
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.00042 sec'
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.00060 sec'
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.00020 sec'

结果很明显,第二种方法比第一种方法快得多。 矢量化代码通常会带来数量级的加速。 另外,我们将更多的数学运算放到库中,而无须自己编写那么多的计算,从而减少了出错的可能性。

3.1.3. 正态分布与平方损失

接下来,我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。

正态分布和线性回归之间的关系很密切。 正态分布(normal distribution),也称为高斯分布(Gaussian distribution), 最早由德国数学家高斯(Gauss)应用于天文学研究。 简单的说,若随机变量\(x\)具有均值\(\mu\)和方差\(\sigma^2\)(标准差\(\sigma\)),其正态分布概率密度函数如下:

(3.1.11)\[p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2\right).\]

下面我们定义一个Python函数来计算正态分布。

def normal(x, mu, sigma):
    p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
    return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

我们现在可视化正态分布。

# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)
# Mean and standard deviation pairs
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x.asnumpy(), [normal(x, mu, sigma).asnumpy() for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
../_images/output_linear-regression_216540_67_0.svg
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)

# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
../_images/output_linear-regression_216540_70_0.svg
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)

# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
../_images/output_linear-regression_216540_73_0.svg
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)

# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
../_images/output_linear-regression_216540_76_0.svg

就像我们所看到的,改变均值会产生沿\(x\)轴的偏移,增加方差将会分散分布、降低其峰值。

均方误差损失函数(简称均方损失)可以用于线性回归的一个原因是: 我们假设了观测中包含噪声,其中噪声服从正态分布。 噪声正态分布如下式:

(3.1.12)\[y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon,\]

其中,\(\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\)

因此,我们现在可以写出通过给定的\(\mathbf{x}\)观测到特定\(y\)似然(likelihood):

(3.1.13)\[P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right).\]

现在,根据极大似然估计法,参数\(\mathbf{w}\)\(b\)的最优值是使整个数据集的似然最大的值:

(3.1.14)\[P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}).\]

根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。 虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难, 但是我们可以在不改变目标的前提下,通过最大化似然对数来简化。 由于历史原因,优化通常是说最小化而不是最大化。 我们可以改为最小化负对数似然\(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)\)。 由此可以得到的数学公式是:

(3.1.15)\[-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2.\]

现在我们只需要假设\(\sigma\)是某个固定常数就可以忽略第一项, 因为第一项不依赖于\(\mathbf{w}\)\(b\)。 现在第二项除了常数\(\frac{1}{\sigma^2}\)外,其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。 幸运的是,上面式子的解并不依赖于\(\sigma\)。 因此,在高斯噪声的假设下,最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

3.1.4. 从线性回归到深度网络

到目前为止,我们只谈论了线性模型。 尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型,我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型, 从而把线性模型看作一个神经网络。 首先,我们用“层”符号来重写这个模型。

3.1.4.1. 神经网络图

深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。 在 图3.1.2中,我们将线性回归模型描述为一个神经网络。 需要注意的是,该图只显示连接模式,即只显示每个输入如何连接到输出,隐去了权重和偏置的值。

../_images/singleneuron.svg

图3.1.2 线性回归是一个单层神经网络。

图3.1.2所示的神经网络中,输入为\(x_1, \ldots, x_d\), 因此输入层中的输入数(或称为特征维度,feature dimensionality)为\(d\)。 网络的输出为\(o_1\),因此输出层中的输出数是1。 需要注意的是,输入值都是已经给定的,并且只有一个计算神经元。 由于模型重点在发生计算的地方,所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。 也就是说, 图3.1.2中神经网络的层数为1。 我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络,或称为单层神经网络。

对于线性回归,每个输入都与每个输出(在本例中只有一个输出)相连, 我们将这种变换( 图3.1.2中的输出层) 称为全连接层(fully-connected layer)或称为稠密层(dense layer)。 下一章将详细讨论由这些层组成的网络。

3.1.4.2. 生物学

线性回归发明的时间(1795年)早于计算神经科学,所以将线性回归描述为神经网络似乎不合适。 当控制学家、神经生物学家沃伦·麦库洛奇和沃尔特·皮茨开始开发人工神经元模型时, 他们为什么将线性模型作为一个起点呢? 我们来看一张图片 图3.1.3: 这是一张由树突(dendrites,输入终端)、 细胞核(nucleus,CPU)组成的生物神经元图片。 轴突(axon,输出线)和轴突端子(axon terminal,输出端子) 通过突触(synapse)与其他神经元连接。

../_images/neuron.svg

图3.1.3 真实的神经元。

树突中接收到来自其他神经元(或视网膜等环境传感器)的信息\(x_i\)。 该信息通过突触权重\(w_i\)来加权,以确定输入的影响(即,通过\(x_i w_i\)相乘来激活或抑制)。 来自多个源的加权输入以加权和\(y = \sum_i x_i w_i + b\)的形式汇聚在细胞核中, 然后将这些信息发送到轴突\(y\)中进一步处理,通常会通过\(\sigma(y)\)进行一些非线性处理。 之后,它要么到达目的地(例如肌肉),要么通过树突进入另一个神经元。

当然,许多这样的单元可以通过正确连接和正确的学习算法拼凑在一起, 从而产生的行为会比单独一个神经元所产生的行为更有趣、更复杂, 这种想法归功于我们对真实生物神经系统的研究。

当今大多数深度学习的研究几乎没有直接从神经科学中获得灵感。 我们援引斯图尔特·罗素和彼得·诺维格在他们的经典人工智能教科书 Artificial Intelligence:A Modern Approach (Russell and Norvig, 2016) 中所说的:虽然飞机可能受到鸟类的启发,但几个世纪以来,鸟类学并不是航空创新的主要驱动力。 同样地,如今在深度学习中的灵感同样或更多地来自数学、统计学和计算机科学。

3.1.5. 小结

  • 机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法,还有模型本身。

  • 矢量化使数学表达上更简洁,同时运行的更快。

  • 最小化目标函数和执行极大似然估计等价。

  • 线性回归模型也是一个简单的神经网络。

3.1.6. 练习

  1. 假设我们有一些数据\(x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}\)。我们的目标是找到一个常数\(b\),使得最小化\(\sum_i (x_i - b)^2\)

    1. 找到最优值\(b\)的解析解。

    2. 这个问题及其解与正态分布有什么关系?

  2. 推导出使用平方误差的线性回归优化问题的解析解。为了简化问题,可以忽略偏置\(b\)(我们可以通过向\(\mathbf X\)添加所有值为1的一列来做到这一点)。

    1. 用矩阵和向量表示法写出优化问题(将所有数据视为单个矩阵,将所有目标值视为单个向量)。

    2. 计算损失对\(w\)的梯度。

    3. 通过将梯度设为0、求解矩阵方程来找到解析解。

    4. 什么时候可能比使用随机梯度下降更好?这种方法何时会失效?

  3. 假定控制附加噪声\(\epsilon\)的噪声模型是指数分布。也就是说,\(p(\epsilon) = \frac{1}{2} \exp(-|\epsilon|)\)

    1. 写出模型\(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)\)下数据的负对数似然。

    2. 请试着写出解析解。

    3. 提出一种随机梯度下降算法来解决这个问题。哪里可能出错?(提示:当我们不断更新参数时,在驻点附近会发生什么情况)请尝试解决这个问题。