.. _sec_linear_regression:
线性回归
========
*回归*\ (regression)是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。
在自然科学和社会科学领域,回归经常用来表示输入和输出之间的关系。
在机器学习领域中的大多数任务通常都与\ *预测*\ (prediction)有关。
当我们想预测一个数值时,就会涉及到回归问题。
常见的例子包括:预测价格(房屋、股票等)、预测住院时间(针对住院病人等)、
预测需求(零售销量等)。 但不是所有的\ *预测*\ 都是回归问题。
在后面的章节中,我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。
线性回归的基本元素
------------------
*线性回归*\ (linear regression)可以追溯到19世纪初,
它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。 线性回归基于几个简单的假设:
首先,假设自变量\ :math:`\mathbf{x}`\ 和因变量\ :math:`y`\ 之间的关系是线性的,
即\ :math:`y`\ 可以表示为\ :math:`\mathbf{x}`\ 中元素的加权和,这里通常允许包含观测值的一些噪声;
其次,我们假设任何噪声都比较正常,如噪声遵循正态分布。
为了解释\ *线性回归*\ ,我们举一个实际的例子:
我们希望根据房屋的面积(平方英尺)和房龄(年)来估算房屋价格(美元)。
为了开发一个能预测房价的模型,我们需要收集一个真实的数据集。
这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。
在机器学习的术语中,该数据集称为\ *训练数据集*\ (training data set)
或\ *训练集*\ (training set)。
每行数据(比如一次房屋交易相对应的数据)称为\ *样本*\ (sample),
也可以称为\ *数据点*\ (data point)或\ *数据样本*\ (data instance)。
我们把试图预测的目标(比如预测房屋价格)称为\ *标签*\ (label)或\ *目标*\ (target)。
预测所依据的自变量(面积和房龄)称为\ *特征*\ (feature)或\ *协变量*\ (covariate)。
通常,我们使用\ :math:`n`\ 来表示数据集中的样本数。
对索引为\ :math:`i`\ 的样本,其输入表示为\ :math:`\mathbf{x}^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)}]^\top`\ ,
其对应的标签是\ :math:`y^{(i)}`\ 。
.. _subsec_linear_model:
线性模型
~~~~~~~~
线性假设是指目标(房屋价格)可以表示为特征(面积和房龄)的加权和,如下面的式子:
.. math:: \mathrm{price} = w_{\mathrm{area}} \cdot \mathrm{area} + w_{\mathrm{age}} \cdot \mathrm{age} + b.
:label: eq_price-area
:eq:`eq_price-area`\ 中的\ :math:`w_{\mathrm{area}}`\ 和\ :math:`w_{\mathrm{age}}`
称为\ *权重*\ (weight),权重决定了每个特征对我们预测值的影响。
:math:`b`\ 称为\ *偏置*\ (bias)、\ *偏移量*\ (offset)或\ *截距*\ (intercept)。
偏置是指当所有特征都取值为0时,预测值应该为多少。
即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年,我们仍然需要偏置项。
如果没有偏置项,我们模型的表达能力将受到限制。 严格来说,
:eq:`eq_price-area`\ 是输入特征的一个 *仿射变换*\ (affine
transformation)。
仿射变换的特点是通过加权和对特征进行\ *线性变换*\ (linear
transformation), 并通过偏置项来进行\ *平移*\ (translation)。
给定一个数据集,我们的目标是寻找模型的权重\ :math:`\mathbf{w}`\ 和偏置\ :math:`b`\ ,
使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。
输出的预测值由输入特征通过\ *线性模型*\ 的仿射变换决定,仿射变换由所选权重和偏置确定。
而在机器学习领域,我们通常使用的是高维数据集,建模时采用线性代数表示法会比较方便。
当我们的输入包含\ :math:`d`\ 个特征时,我们将预测结果\ :math:`\hat{y}`
(通常使用“尖角”符号表示\ :math:`y`\ 的估计值)表示为:
.. math:: \hat{y} = w_1 x_1 + ... + w_d x_d + b.
将所有特征放到向量\ :math:`\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d`\ 中,
并将所有权重放到向量\ :math:`\mathbf{w} \in \mathbb{R}^d`\ 中,
我们可以用点积形式来简洁地表达模型:
.. math:: \hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b.
:label: eq_linreg-y
在 :eq:`eq_linreg-y`\ 中,
向量\ :math:`\mathbf{x}`\ 对应于单个数据样本的特征。
用符号表示的矩阵\ :math:`\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}`
可以很方便地引用我们整个数据集的\ :math:`n`\ 个样本。
其中,\ :math:`\mathbf{X}`\ 的每一行是一个样本,每一列是一种特征。
对于特征集合\ :math:`\mathbf{X}`\ ,预测值\ :math:`\hat{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^n`
可以通过矩阵-向量乘法表示为:
.. math:: {\hat{\mathbf{y}}} = \mathbf{X} \mathbf{w} + b
这个过程中的求和将使用广播机制 (广播机制在
:numref:`subsec_broadcasting`\ 中有详细介绍)。
给定训练数据特征\ :math:`\mathbf{X}`\ 和对应的已知标签\ :math:`\mathbf{y}`\ ,
线性回归的目标是找到一组权重向量\ :math:`\mathbf{w}`\ 和偏置\ :math:`b`\ :
当给定从\ :math:`\mathbf{X}`\ 的同分布中取样的新样本特征时,
这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。
虽然我们相信给定\ :math:`\mathbf{x}`\ 预测\ :math:`y`\ 的最佳模型会是线性的,
但我们很难找到一个有\ :math:`n`\ 个样本的真实数据集,其中对于所有的\ :math:`1 \leq i \leq n`\ ,\ :math:`y^{(i)}`\ 完全等于\ :math:`\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)}+b`\ 。
无论我们使用什么手段来观察特征\ :math:`\mathbf{X}`\ 和标签\ :math:`\mathbf{y}`\ ,
都可能会出现少量的观测误差。
因此,即使确信特征与标签的潜在关系是线性的,
我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。
在开始寻找最好的\ *模型参数*\ (model
parameters)\ :math:`\mathbf{w}`\ 和\ :math:`b`\ 之前,
我们还需要两个东西: (1)一种模型质量的度量方式;
(2)一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。
损失函数
~~~~~~~~
在我们开始考虑如何用模型\ *拟合*\ (fit)数据之前,我们需要确定一个拟合程度的度量。
*损失函数*\ (loss
function)能够量化目标的\ *实际*\ 值与\ *预测*\ 值之间的差距。
通常我们会选择非负数作为损失,且数值越小表示损失越小,完美预测时的损失为0。
回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。
当样本\ :math:`i`\ 的预测值为\ :math:`\hat{y}^{(i)}`\ ,其相应的真实标签为\ :math:`y^{(i)}`\ 时,
平方误差可以定义为以下公式:
.. math:: l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2.
:label: eq_mse
常数\ :math:`\frac{1}{2}`\ 不会带来本质的差别,但这样在形式上稍微简单一些
(因为当我们对损失函数求导后常数系数为1)。
由于训练数据集并不受我们控制,所以经验误差只是关于模型参数的函数。
为了进一步说明,来看下面的例子。 我们为一维情况下的回归问题绘制图像,如
:numref:`fig_fit_linreg`\ 所示。
.. _fig_fit_linreg:
.. figure:: ../img/fit-linreg.svg
用线性模型拟合数据。
由于平方误差函数中的二次方项,
估计值\ :math:`\hat{y}^{(i)}`\ 和观测值\ :math:`y^{(i)}`\ 之间较大的差异将导致更大的损失。
为了度量模型在整个数据集上的质量,我们需计算在训练集\ :math:`n`\ 个样本上的损失均值(也等价于求和)。
.. math:: L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.
在训练模型时,我们希望寻找一组参数(\ :math:`\mathbf{w}^*, b^*`\ ),
这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式:
.. math:: \mathbf{w}^*, b^* = \operatorname*{argmin}_{\mathbf{w}, b}\ L(\mathbf{w}, b).
解析解
~~~~~~
线性回归刚好是一个很简单的优化问题。
与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同,线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来,
这类解叫作解析解(analytical solution)。
首先,我们将偏置\ :math:`b`\ 合并到参数\ :math:`\mathbf{w}`\ 中,合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。
我们的预测问题是最小化\ :math:`\|\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}\|^2`\ 。
这在损失平面上只有一个临界点,这个临界点对应于整个区域的损失极小点。
将损失关于\ :math:`\mathbf{w}`\ 的导数设为0,得到解析解:
.. math:: \mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y}.
像线性回归这样的简单问题存在解析解,但并不是所有的问题都存在解析解。
解析解可以进行很好的数学分析,但解析解对问题的限制很严格,导致它无法广泛应用在深度学习里。
随机梯度下降
~~~~~~~~~~~~
即使在我们无法得到解析解的情况下,我们仍然可以有效地训练模型。
在许多任务上,那些难以优化的模型效果要更好。
因此,弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。
本书中我们用到一种名为\ *梯度下降*\ (gradient descent)的方法,
这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。
它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。
梯度下降最简单的用法是计算损失函数(数据集中所有样本的损失均值)
关于模型参数的导数(在这里也可以称为梯度)。
但实际中的执行可能会非常慢:因为在每一次更新参数之前,我们必须遍历整个数据集。
因此,我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本,
这种变体叫做\ *小批量随机梯度下降*\ (minibatch stochastic gradient
descent)。
在每次迭代中,我们首先随机抽样一个小批量\ :math:`\mathcal{B}`\ ,
它是由固定数量的训练样本组成的。
然后,我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数(也可以称为梯度)。
最后,我们将梯度乘以一个预先确定的正数\ :math:`\eta`\ ,并从当前参数的值中减掉。
我们用下面的数学公式来表示这一更新过程(\ :math:`\partial`\ 表示偏导数):
.. math:: (\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b).
总结一下,算法的步骤如下: (1)初始化模型参数的值,如随机初始化;
(2)从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数,并不断迭代这一步骤。
对于平方损失和仿射变换,我们可以明确地写成如下形式:
.. math:: \begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}
:label: eq_linreg_batch_update
公式
:eq:`eq_linreg_batch_update`\ 中的\ :math:`\mathbf{w}`\ 和\ :math:`\mathbf{x}`\ 都是向量。
在这里,更优雅的向量表示法比系数表示法(如\ :math:`w_1, w_2, \ldots, w_d`\ )更具可读性。
:math:`|\mathcal{B}|`\ 表示每个小批量中的样本数,这也称为\ *批量大小*\ (batch
size)。 :math:`\eta`\ 表示\ *学习率*\ (learning rate)。
批量大小和学习率的值通常是手动预先指定,而不是通过模型训练得到的。
这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为\ *超参数*\ (hyperparameter)。
*调参*\ (hyperparameter tuning)是选择超参数的过程。
超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的,
而训练迭代结果是在独立的\ *验证数据集*\ (validation
dataset)上评估得到的。
在训练了预先确定的若干迭代次数后(或者直到满足某些其他停止条件后),
我们记录下模型参数的估计值,表示为\ :math:`\hat{\mathbf{w}}, \hat{b}`\ 。
但是,即使我们的函数确实是线性的且无噪声,这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。
因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛,但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。
线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。
但是对像深度神经网络这样复杂的模型来说,损失平面上通常包含多个最小值。
深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数,使得在\ *训练集*\ 上的损失达到最小。
事实上,更难做到的是找到一组参数,这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失,
这一挑战被称为\ *泛化*\ (generalization)。
用模型进行预测
~~~~~~~~~~~~~~
给定“已学习”的线性回归模型\ :math:`\hat{\mathbf{w}}^\top \mathbf{x} + \hat{b}`\ ,
现在我们可以通过房屋面积\ :math:`x_1`\ 和房龄\ :math:`x_2`\ 来估计一个(未包含在训练数据中的)新房屋价格。
给定特征估计目标的过程通常称为\ *预测*\ (prediction)或\ *推断*\ (inference)。
本书将尝试坚持使用\ *预测*\ 这个词。
虽然\ *推断*\ 这个词已经成为深度学习的标准术语,但其实\ *推断*\ 这个词有些用词不当。
在统计学中,\ *推断*\ 更多地表示基于数据集估计参数。
当深度学习从业者与统计学家交谈时,术语的误用经常导致一些误解。
矢量化加速
----------
在训练我们的模型时,我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。
为了实现这一点,需要我们对计算进行矢量化,
从而利用线性代数库,而不是在Python中编写开销高昂的for循环。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
import math
import time
from mxnet import np
from d2l import mxnet as d2l
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
import warnings
from d2l import paddle as d2l
warnings.filterwarnings("ignore")
import math
import time
import numpy as np
import paddle
.. raw:: html
.. raw:: html
为了说明矢量化为什么如此重要,我们考虑对向量相加的两种方法。
我们实例化两个全为1的10000维向量。
在一种方法中,我们将使用Python的for循环遍历向量;
在另一种方法中,我们将依赖对\ ``+``\ 的调用。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
n = 10000
a = np.ones([n])
b = np.ones([n])
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
[07:13:03] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
n = 10000
a = torch.ones([n])
b = torch.ones([n])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
n = 10000
a = tf.ones([n])
b = tf.ones([n])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
n = 10000
a = paddle.ones([n])
b = paddle.ones([n])
.. raw:: html
.. raw:: html
由于在本书中我们将频繁地进行运行时间的基准测试,所以我们定义一个计时器:
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
class Timer: #@save
"""记录多次运行时间"""
def __init__(self):
self.times = []
self.start()
def start(self):
"""启动计时器"""
self.tik = time.time()
def stop(self):
"""停止计时器并将时间记录在列表中"""
self.times.append(time.time() - self.tik)
return self.times[-1]
def avg(self):
"""返回平均时间"""
return sum(self.times) / len(self.times)
def sum(self):
"""返回时间总和"""
return sum(self.times)
def cumsum(self):
"""返回累计时间"""
return np.array(self.times).cumsum().tolist()
现在我们可以对工作负载进行基准测试。
首先,我们使用for循环,每次执行一位的加法。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
c = np.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
'4.33872 sec'
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
c = torch.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
'0.16749 sec'
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
c = tf.Variable(tf.zeros(n))
timer = Timer()
for i in range(n):
c[i].assign(a[i] + b[i])
f'{timer.stop():.5f} sec'
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
'9.51930 sec'
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
c = paddle.zeros([n])
timer = Timer()
for i in range(n):
c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
'1.27662 sec'
.. raw:: html
.. raw:: html
或者,我们使用重载的\ ``+``\ 运算符来计算按元素的和。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
'0.00024 sec'
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
'0.00042 sec'
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
'0.00060 sec'
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
'0.00020 sec'
.. raw:: html
.. raw:: html
结果很明显,第二种方法比第一种方法快得多。
矢量化代码通常会带来数量级的加速。
另外,我们将更多的数学运算放到库中,而无须自己编写那么多的计算,从而减少了出错的可能性。
.. _subsec_normal_distribution_and_squared_loss:
正态分布与平方损失
------------------
接下来,我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。
正态分布和线性回归之间的关系很密切。 正态分布(normal
distribution),也称为\ *高斯分布*\ (Gaussian distribution),
最早由德国数学家高斯(Gauss)应用于天文学研究。
简单的说,若随机变量\ :math:`x`\ 具有均值\ :math:`\mu`\ 和方差\ :math:`\sigma^2`\ (标准差\ :math:`\sigma`\ ),其正态分布概率密度函数如下:
.. math:: p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2\right).
下面我们定义一个Python函数来计算正态分布。
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def normal(x, mu, sigma):
p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)
我们现在可视化正态分布。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)
# Mean and standard deviation pairs
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x.asnumpy(), [normal(x, mu, sigma).asnumpy() for mu, sigma in params], xlabel='x',
ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
.. figure:: output_linear-regression_216540_67_0.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)
# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
.. figure:: output_linear-regression_216540_70_0.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)
# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
.. figure:: output_linear-regression_216540_73_0.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)
# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
.. figure:: output_linear-regression_216540_76_0.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
就像我们所看到的,改变均值会产生沿\ :math:`x`\ 轴的偏移,增加方差将会分散分布、降低其峰值。
均方误差损失函数(简称均方损失)可以用于线性回归的一个原因是:
我们假设了观测中包含噪声,其中噪声服从正态分布。 噪声正态分布如下式:
.. math:: y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon,
其中,\ :math:`\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)`\ 。
因此,我们现在可以写出通过给定的\ :math:`\mathbf{x}`\ 观测到特定\ :math:`y`\ 的\ *似然*\ (likelihood):
.. math:: P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right).
现在,根据极大似然估计法,参数\ :math:`\mathbf{w}`\ 和\ :math:`b`\ 的最优值是使整个数据集的\ *似然*\ 最大的值:
.. math:: P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}).
根据极大似然估计法选择的估计量称为\ *极大似然估计量*\ 。
虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难,
但是我们可以在不改变目标的前提下,通过最大化似然对数来简化。
由于历史原因,优化通常是说最小化而不是最大化。
我们可以改为\ *最小化负对数似然*\ :math:`-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)`\ 。
由此可以得到的数学公式是:
.. math:: -\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2.
现在我们只需要假设\ :math:`\sigma`\ 是某个固定常数就可以忽略第一项,
因为第一项不依赖于\ :math:`\mathbf{w}`\ 和\ :math:`b`\ 。
现在第二项除了常数\ :math:`\frac{1}{\sigma^2}`\ 外,其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。
幸运的是,上面式子的解并不依赖于\ :math:`\sigma`\ 。
因此,在高斯噪声的假设下,最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。
从线性回归到深度网络
--------------------
到目前为止,我们只谈论了线性模型。
尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型,我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型,
从而把线性模型看作一个神经网络。 首先,我们用“层”符号来重写这个模型。
神经网络图
~~~~~~~~~~
深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。 在
:numref:`fig_single_neuron`\ 中,我们将线性回归模型描述为一个神经网络。
需要注意的是,该图只显示连接模式,即只显示每个输入如何连接到输出,隐去了权重和偏置的值。
.. _fig_single_neuron:
.. figure:: ../img/singleneuron.svg
线性回归是一个单层神经网络。
在
:numref:`fig_single_neuron`\ 所示的神经网络中,输入为\ :math:`x_1, \ldots, x_d`\ ,
因此输入层中的\ *输入数*\ (或称为\ *特征维度*\ ,feature
dimensionality)为\ :math:`d`\ 。
网络的输出为\ :math:`o_1`\ ,因此输出层中的\ *输出数*\ 是1。
需要注意的是,输入值都是已经给定的,并且只有一个\ *计算*\ 神经元。
由于模型重点在发生计算的地方,所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。
也就是说, :numref:`fig_single_neuron`\ 中神经网络的\ *层数*\ 为1。
我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络,或称为单层神经网络。
对于线性回归,每个输入都与每个输出(在本例中只有一个输出)相连,
我们将这种变换( :numref:`fig_single_neuron`\ 中的输出层)
称为\ *全连接层*\ (fully-connected layer)或称为\ *稠密层*\ (dense
layer)。 下一章将详细讨论由这些层组成的网络。
生物学
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线性回归发明的时间(1795年)早于计算神经科学,所以将线性回归描述为神经网络似乎不合适。
当控制学家、神经生物学家沃伦·麦库洛奇和沃尔特·皮茨开始开发人工神经元模型时,
他们为什么将线性模型作为一个起点呢? 我们来看一张图片
:numref:`fig_Neuron`\ : 这是一张由\ *树突*\ (dendrites,输入终端)、
*细胞核*\ (nucleus,CPU)组成的生物神经元图片。
*轴突*\ (axon,输出线)和\ *轴突端子*\ (axon terminal,输出端子)
通过\ *突触*\ (synapse)与其他神经元连接。
.. _fig_Neuron:
.. figure:: ../img/neuron.svg
真实的神经元。
树突中接收到来自其他神经元(或视网膜等环境传感器)的信息\ :math:`x_i`\ 。
该信息通过\ *突触权重*\ :math:`w_i`\ 来加权,以确定输入的影响(即,通过\ :math:`x_i w_i`\ 相乘来激活或抑制)。
来自多个源的加权输入以加权和\ :math:`y = \sum_i x_i w_i + b`\ 的形式汇聚在细胞核中,
然后将这些信息发送到轴突\ :math:`y`\ 中进一步处理,通常会通过\ :math:`\sigma(y)`\ 进行一些非线性处理。
之后,它要么到达目的地(例如肌肉),要么通过树突进入另一个神经元。
当然,许多这样的单元可以通过正确连接和正确的学习算法拼凑在一起,
从而产生的行为会比单独一个神经元所产生的行为更有趣、更复杂,
这种想法归功于我们对真实生物神经系统的研究。
当今大多数深度学习的研究几乎没有直接从神经科学中获得灵感。
我们援引斯图尔特·罗素和彼得·诺维格在他们的经典人工智能教科书 *Artificial
Intelligence:A Modern Approach* :cite:`Russell.Norvig.2016`
中所说的:虽然飞机可能受到鸟类的启发,但几个世纪以来,鸟类学并不是航空创新的主要驱动力。
同样地,如今在深度学习中的灵感同样或更多地来自数学、统计学和计算机科学。
小结
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- 机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法,还有模型本身。
- 矢量化使数学表达上更简洁,同时运行的更快。
- 最小化目标函数和执行极大似然估计等价。
- 线性回归模型也是一个简单的神经网络。
练习
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1. 假设我们有一些数据\ :math:`x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}`\ 。我们的目标是找到一个常数\ :math:`b`\ ,使得最小化\ :math:`\sum_i (x_i - b)^2`\ 。
1. 找到最优值\ :math:`b`\ 的解析解。
2. 这个问题及其解与正态分布有什么关系?
2. 推导出使用平方误差的线性回归优化问题的解析解。为了简化问题,可以忽略偏置\ :math:`b`\ (我们可以通过向\ :math:`\mathbf X`\ 添加所有值为1的一列来做到这一点)。
1. 用矩阵和向量表示法写出优化问题(将所有数据视为单个矩阵,将所有目标值视为单个向量)。
2. 计算损失对\ :math:`w`\ 的梯度。
3. 通过将梯度设为0、求解矩阵方程来找到解析解。
4. 什么时候可能比使用随机梯度下降更好?这种方法何时会失效?
3. 假定控制附加噪声\ :math:`\epsilon`\ 的噪声模型是指数分布。也就是说,\ :math:`p(\epsilon) = \frac{1}{2} \exp(-|\epsilon|)`
1. 写出模型\ :math:`-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)`\ 下数据的负对数似然。
2. 请试着写出解析解。
3. 提出一种随机梯度下降算法来解决这个问题。哪里可能出错?(提示:当我们不断更新参数时,在驻点附近会发生什么情况)请尝试解决这个问题。
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