11.10. Adam算法
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本章我们已经学习了许多有效优化的技术。 在本节讨论之前,我们先详细回顾一下这些技术:

  • 11.4节中,我们学习了:随机梯度下降在解决优化问题时比梯度下降更有效。

  • 11.5节中,我们学习了:在一个小批量中使用更大的观测值集,可以通过向量化提供额外效率。这是高效的多机、多GPU和整体并行处理的关键。

  • 11.6节中我们添加了一种机制,用于汇总过去梯度的历史以加速收敛。

  • 11.7节中,我们通过对每个坐标缩放来实现高效计算的预处理器。

  • 11.8节中,我们通过学习率的调整来分离每个坐标的缩放。

Adam算法 [Kingma & Ba, 2014]将所有这些技术汇总到一个高效的学习算法中。 不出预料,作为深度学习中使用的更强大和有效的优化算法之一,它非常受欢迎。 但是它并非没有问题,尤其是 [Reddi et al., 2019]表明,有时Adam算法可能由于方差控制不良而发散。 在完善工作中, [Zaheer et al., 2018]给Adam算法提供了一个称为Yogi的热补丁来解决这些问题。 下面我们了解一下Adam算法。

11.10.1. 算法

Adam算法的关键组成部分之一是:它使用指数加权移动平均值来估算梯度的动量和二次矩,即它使用状态变量

(11.10.1)\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{v}_t & \leftarrow \beta_1 \mathbf{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \mathbf{g}_t, \\ \mathbf{s}_t & \leftarrow \beta_2 \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \mathbf{g}_t^2. \end{aligned}\end{split}\]

这里\(\beta_1\)\(\beta_2\)是非负加权参数。 常将它们设置为\(\beta_1 = 0.9\)\(\beta_2 = 0.999\)。 也就是说,方差估计的移动远远慢于动量估计的移动。 注意,如果我们初始化\(\mathbf{v}_0 = \mathbf{s}_0 = 0\),就会获得一个相当大的初始偏差。 我们可以通过使用\(\sum_{i=0}^t \beta^i = \frac{1 - \beta^t}{1 - \beta}\)来解决这个问题。 相应地,标准化状态变量由下式获得

(11.10.2)\[\hat{\mathbf{v}}_t = \frac{\mathbf{v}_t}{1 - \beta_1^t} \text{ and } \hat{\mathbf{s}}_t = \frac{\mathbf{s}_t}{1 - \beta_2^t}.\]

有了正确的估计,我们现在可以写出更新方程。 首先,我们以非常类似于RMSProp算法的方式重新缩放梯度以获得

(11.10.3)\[\mathbf{g}_t' = \frac{\eta \hat{\mathbf{v}}_t}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon}.\]

与RMSProp不同,我们的更新使用动量\(\hat{\mathbf{v}}_t\)而不是梯度本身。 此外,由于使用\(\frac{1}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon}\)而不是\(\frac{1}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t + \epsilon}}\)进行缩放,两者会略有差异。 前者在实践中效果略好一些,因此与RMSProp算法有所区分。 通常,我们选择\(\epsilon = 10^{-6}\),这是为了在数值稳定性和逼真度之间取得良好的平衡。

最后,我们简单更新:

(11.10.4)\[\mathbf{x}_t \leftarrow \mathbf{x}_{t-1} - \mathbf{g}_t'.\]

回顾Adam算法,它的设计灵感很清楚: 首先,动量和规模在状态变量中清晰可见, 它们相当独特的定义使我们移除偏项(这可以通过稍微不同的初始化和更新条件来修正)。 其次,RMSProp算法中两项的组合都非常简单。 最后,明确的学习率\(\eta\)使我们能够控制步长来解决收敛问题。

11.10.2. 实现

从头开始实现Adam算法并不难。 为方便起见,我们将时间步\(t\)存储在hyperparams字典中。 除此之外,一切都很简单。

%matplotlib inline
from mxnet import np, npx
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

def init_adam_states(feature_dim):
    v_w, v_b = np.zeros((feature_dim, 1)), np.zeros(1)
    s_w, s_b = np.zeros((feature_dim, 1)), np.zeros(1)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
        s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * np.square(p.grad)
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (np.sqrt(s_bias_corr) + eps)
    hyperparams['t'] += 1
%matplotlib inline
import torch
from d2l import torch as d2l


def init_adam_states(feature_dim):
    v_w, v_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)
    s_w, s_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
            s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * torch.square(p.grad)
            v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
            s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
            p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr)
                                                       + eps)
        p.grad.data.zero_()
    hyperparams['t'] += 1
%matplotlib inline
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l


def init_adam_states(feature_dim):
    v_w = tf.Variable(tf.zeros((feature_dim, 1)))
    v_b = tf.Variable(tf.zeros(1))
    s_w = tf.Variable(tf.zeros((feature_dim, 1)))
    s_b = tf.Variable(tf.zeros(1))
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, grads, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s), grad in zip(params, states, grads):
        v[:].assign(beta1 * v  + (1 - beta1) * grad)
        s[:].assign(beta2 * s + (1 - beta2) * tf.math.square(grad))
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p[:].assign(p - hyperparams['lr'] * v_bias_corr
                    / tf.math.sqrt(s_bias_corr) + eps)

现在,我们用以上Adam算法来训练模型,这里我们使用\(\eta = 0.01\)的学习率。

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adam, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.244, 0.337 sec/epoch
../_images/output_adam_f5876e_15_1.svg
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adam, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.243, 0.015 sec/epoch
../_images/output_adam_f5876e_18_1.svg
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adam, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.246, 0.152 sec/epoch
../_images/output_adam_f5876e_21_1.svg

此外,我们可以用深度学习框架自带算法应用Adam算法,这里我们只需要传递配置参数。

d2l.train_concise_ch11('adam', {'learning_rate': 0.01}, data_iter)
loss: 0.245, 0.171 sec/epoch
../_images/output_adam_f5876e_27_1.svg
trainer = torch.optim.Adam
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01}, data_iter)
loss: 0.243, 0.014 sec/epoch
../_images/output_adam_f5876e_30_1.svg
trainer = tf.keras.optimizers.Adam
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate': 0.01}, data_iter)
loss: 0.243, 0.122 sec/epoch
../_images/output_adam_f5876e_33_1.svg

11.10.3. Yogi

Adam算法也存在一些问题: 即使在凸环境下,当\(\mathbf{s}_t\)的二次矩估计值爆炸时,它可能无法收敛。 [Zaheer et al., 2018]\(\mathbf{s}_t\)提出了的改进更新和参数初始化。 论文中建议我们重写Adam算法更新如下:

(11.10.5)\[\mathbf{s}_t \leftarrow \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \left(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1}\right).\]

每当\(\mathbf{g}_t^2\)具有值很大的变量或更新很稀疏时,\(\mathbf{s}_t\)可能会太快地“忘记”过去的值。 一个有效的解决方法是将\(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1}\)替换为\(\mathbf{g}_t^2 \odot \mathop{\mathrm{sgn}}(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1})\)。 这就是Yogi更新,现在更新的规模不再取决于偏差的量。

(11.10.6)\[\mathbf{s}_t \leftarrow \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \mathbf{g}_t^2 \odot \mathop{\mathrm{sgn}}(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1}).\]

论文中,作者还进一步建议用更大的初始批量来初始化动量,而不仅仅是初始的逐点估计。

def yogi(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-3
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
        s[:] = s + (1 - beta2) * np.sign(
            np.square(p.grad) - s) * np.square(p.grad)
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (np.sqrt(s_bias_corr) + eps)
    hyperparams['t'] += 1

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(yogi, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.243, 0.307 sec/epoch
../_images/output_adam_f5876e_39_1.svg
def yogi(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-3
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
            s[:] = s + (1 - beta2) * torch.sign(
                torch.square(p.grad) - s) * torch.square(p.grad)
            v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
            s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
            p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr)
                                                       + eps)
        p.grad.data.zero_()
    hyperparams['t'] += 1

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(yogi, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.244, 0.015 sec/epoch
../_images/output_adam_f5876e_42_1.svg
def yogi(params, grads, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s), grad in zip(params, states, grads):
        v[:].assign(beta1 * v  + (1 - beta1) * grad)
        s[:].assign(s + (1 - beta2) * tf.math.sign(
                   tf.math.square(grad) - s) * tf.math.square(grad))
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p[:].assign(p - hyperparams['lr'] * v_bias_corr
                    / tf.math.sqrt(s_bias_corr) + eps)
    hyperparams['t'] += 1

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(yogi, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.243, 0.158 sec/epoch
../_images/output_adam_f5876e_45_1.svg

11.10.4. 小结

  • Adam算法将许多优化算法的功能结合到了相当强大的更新规则中。

  • Adam算法在RMSProp算法基础上创建的,还在小批量的随机梯度上使用EWMA。

  • 在估计动量和二次矩时,Adam算法使用偏差校正来调整缓慢的启动速度。

  • 对于具有显著差异的梯度,我们可能会遇到收敛性问题。我们可以通过使用更大的小批量或者切换到改进的估计值\(\mathbf{s}_t\)来修正它们。Yogi提供了这样的替代方案。

11.10.5. 练习

  1. 调节学习率,观察并分析实验结果。

  2. 你能重写动量和二次矩更新,从而使其不需要偏差校正吗?

  3. 当我们收敛时,为什么你需要降低学习率\(\eta\)

  4. 尝试构造一个使用Adam算法会发散而Yogi会收敛的例子。