2.6. 概率
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简单地说,机器学习就是做出预测。

根据病人的临床病史,我们可能想预测他们在下一年心脏病发作的概率。 在飞机喷气发动机的异常检测中,我们想要评估一组发动机读数为正常运行情况的概率有多大。 在强化学习中,我们希望智能体(agent)能在一个环境中智能地行动。 这意味着我们需要考虑在每种可行的行为下获得高奖励的概率。 当我们建立推荐系统时,我们也需要考虑概率。 例如,假设我们为一家大型在线书店工作,我们可能希望估计某些用户购买特定图书的概率。 为此,我们需要使用概率学。 有完整的课程、专业、论文、职业、甚至院系,都致力于概率学的工作。 所以很自然地,我们在这部分的目标不是教授整个科目。 相反,我们希望教给读者基础的概率知识,使读者能够开始构建第一个深度学习模型, 以便读者可以开始自己探索它。

现在让我们更认真地考虑第一个例子:根据照片区分猫和狗。 这听起来可能很简单,但对于机器却可能是一个艰巨的挑战。 首先,问题的难度可能取决于图像的分辨率。

../_images/cat-dog-pixels.png

图2.6.1 不同分辨率的图像 (\(10 \times 10\), \(20 \times 20\), \(40 \times 40\), \(80 \times 80\), 和 \(160 \times 160\) pixels)

图2.6.1所示,虽然人类很容易以\(160 \times 160\)像素的分辨率识别猫和狗, 但它在\(40\times40\)像素上变得具有挑战性,而且在\(10 \times 10\)像素下几乎是不可能的。 换句话说,我们在很远的距离(从而降低分辨率)区分猫和狗的能力可能会变为猜测。 概率给了我们一种正式的途径来说明我们的确定性水平。 如果我们完全肯定图像是一只猫,我们说标签\(y\)是“猫”的概率,表示为\(P(y=\)“猫”\()\)等于\(1\)。 如果我们没有证据表明\(y=\)“猫”或\(y=\)“狗”,那么我们可以说这两种可能性是相等的, 即\(P(y=\)“猫”\()=P(y=\)“狗”\()=0.5\)。 如果我们不十分确定图像描绘的是一只猫,我们可以将概率赋值为\(0.5<P(y=\)“猫”\()<1\)

现在考虑第二个例子:给出一些天气监测数据,我们想预测明天北京下雨的概率。 如果是夏天,下雨的概率是0.5。

在这两种情况下,我们都不确定结果,但这两种情况之间有一个关键区别。 在第一种情况中,图像实际上是狗或猫二选一。 在第二种情况下,结果实际上是一个随机的事件。 因此,概率是一种灵活的语言,用于说明我们的确定程度,并且它可以有效地应用于广泛的领域中。

2.6.1. 基本概率论

假设我们掷骰子,想知道看到1的几率有多大,而不是看到另一个数字。 如果骰子是公平的,那么所有六个结果\(\{1, \ldots, 6\}\)都有相同的可能发生, 因此我们可以说\(1\)发生的概率为\(\frac{1}{6}\)

然而现实生活中,对于我们从工厂收到的真实骰子,我们需要检查它是否有瑕疵。 检查骰子的唯一方法是多次投掷并记录结果。 对于每个骰子,我们将观察到\(\{1, \ldots, 6\}\)中的一个值。 对于每个值,一种自然的方法是将它出现的次数除以投掷的总次数, 即此事件(event)概率的估计值大数定律(law of large numbers)告诉我们: 随着投掷次数的增加,这个估计值会越来越接近真实的潜在概率。 让我们用代码试一试!

首先,我们导入必要的软件包。

%matplotlib inline
import random
from mxnet import np, npx
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()
%matplotlib inline
import torch
from torch.distributions import multinomial
from d2l import torch as d2l
%matplotlib inline
import numpy as np
import tensorflow as tf
import tensorflow_probability as tfp
from d2l import tensorflow as d2l
%matplotlib inline
import warnings
from d2l import paddle as d2l

warnings.filterwarnings("ignore")
import random
import numpy as np
import paddle

在统计学中,我们把从概率分布中抽取样本的过程称为抽样(sampling)。 笼统来说,可以把分布(distribution)看作对事件的概率分配, 稍后我们将给出的更正式定义。 将概率分配给一些离散选择的分布称为多项分布(multinomial distribution)。

为了抽取一个样本,即掷骰子,我们只需传入一个概率向量。 输出是另一个相同长度的向量:它在索引\(i\)处的值是采样结果中\(i\)出现的次数。

fair_probs = [1.0 / 6] * 6
np.random.multinomial(1, fair_probs)
[07:15:31] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU
array([0, 0, 0, 1, 0, 0], dtype=int64)
fair_probs = torch.ones([6]) / 6
multinomial.Multinomial(1, fair_probs).sample()
tensor([0., 0., 1., 0., 0., 0.])
fair_probs = tf.ones(6) / 6
tfp.distributions.Multinomial(1, fair_probs).sample()
<tf.Tensor: shape=(6,), dtype=float32, numpy=array([0., 1., 0., 0., 0., 0.], dtype=float32)>
fair_probs = [1.0 / 6] * 6
paddle.distribution.Multinomial(1, paddle.to_tensor(fair_probs)).sample()
Tensor(shape=[6], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
       [0., 0., 1., 0., 0., 0.])

在估计一个骰子的公平性时,我们希望从同一分布中生成多个样本。 如果用Python的for循环来完成这个任务,速度会慢得惊人。 因此我们使用深度学习框架的函数同时抽取多个样本,得到我们想要的任意形状的独立样本数组。

np.random.multinomial(10, fair_probs)
array([1, 1, 5, 1, 1, 1], dtype=int64)
multinomial.Multinomial(10, fair_probs).sample()
tensor([5., 3., 2., 0., 0., 0.])
tfp.distributions.Multinomial(10, fair_probs).sample()
<tf.Tensor: shape=(6,), dtype=float32, numpy=array([3., 0., 2., 2., 2., 1.], dtype=float32)>
paddle.distribution.Multinomial(10, paddle.to_tensor(fair_probs)).sample()
Tensor(shape=[6], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
       [3., 0., 2., 0., 1., 4.])

现在我们知道如何对骰子进行采样,我们可以模拟1000次投掷。 然后,我们可以统计1000次投掷后,每个数字被投中了多少次。 具体来说,我们计算相对频率,以作为真实概率的估计。

counts = np.random.multinomial(1000, fair_probs).astype(np.float32)
counts / 1000
array([0.162, 0.149, 0.178, 0.17 , 0.166, 0.175])
# 将结果存储为32位浮点数以进行除法
counts = multinomial.Multinomial(1000, fair_probs).sample()
counts / 1000  # 相对频率作为估计值
tensor([0.1550, 0.1820, 0.1770, 0.1710, 0.1600, 0.1550])
counts = tfp.distributions.Multinomial(1000, fair_probs).sample()
counts / 1000
<tf.Tensor: shape=(6,), dtype=float32, numpy=array([0.171, 0.162, 0.17 , 0.168, 0.164, 0.165], dtype=float32)>
counts = paddle.distribution.Multinomial(1000, paddle.to_tensor(fair_probs)).sample()
counts / 1000
Tensor(shape=[6], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
       [0.16100001, 0.16100001, 0.17500001, 0.17000000, 0.16200000, 0.17100000])

因为我们是从一个公平的骰子中生成的数据,我们知道每个结果都有真实的概率\(\frac{1}{6}\), 大约是\(0.167\),所以上面输出的估计值看起来不错。

我们也可以看到这些概率如何随着时间的推移收敛到真实概率。 让我们进行500组实验,每组抽取10个样本。

counts = np.random.multinomial(10, fair_probs, size=500)
cum_counts = counts.astype(np.float32).cumsum(axis=0)
estimates = cum_counts / cum_counts.sum(axis=1, keepdims=True)

d2l.set_figsize((6, 4.5))
for i in range(6):
    d2l.plt.plot(estimates[:, i].asnumpy(),
                 label=("P(die=" + str(i + 1) + ")"))
d2l.plt.axhline(y=0.167, color='black', linestyle='dashed')
d2l.plt.gca().set_xlabel('Groups of experiments')
d2l.plt.gca().set_ylabel('Estimated probability')
d2l.plt.legend();
../_images/output_probability_245b7d_63_0.svg
counts = multinomial.Multinomial(10, fair_probs).sample((500,))
cum_counts = counts.cumsum(dim=0)
estimates = cum_counts / cum_counts.sum(dim=1, keepdims=True)

d2l.set_figsize((6, 4.5))
for i in range(6):
    d2l.plt.plot(estimates[:, i].numpy(),
                 label=("P(die=" + str(i + 1) + ")"))
d2l.plt.axhline(y=0.167, color='black', linestyle='dashed')
d2l.plt.gca().set_xlabel('Groups of experiments')
d2l.plt.gca().set_ylabel('Estimated probability')
d2l.plt.legend();
../_images/output_probability_245b7d_66_0.svg
counts = tfp.distributions.Multinomial(10, fair_probs).sample(500)
cum_counts = tf.cumsum(counts, axis=0)
estimates = cum_counts / tf.reduce_sum(cum_counts, axis=1, keepdims=True)

d2l.set_figsize((6, 4.5))
for i in range(6):
    d2l.plt.plot(estimates[:, i].numpy(),
                 label=("P(die=" + str(i + 1) + ")"))
d2l.plt.axhline(y=0.167, color='black', linestyle='dashed')
d2l.plt.gca().set_xlabel('Groups of experiments')
d2l.plt.gca().set_ylabel('Estimated probability')
d2l.plt.legend();
../_images/output_probability_245b7d_69_0.svg
counts = paddle.distribution.Multinomial(10, paddle.to_tensor(fair_probs)).sample((500,1))
cum_counts = counts.cumsum(axis=0)
cum_counts = cum_counts.squeeze(axis=1)
estimates = cum_counts / cum_counts.sum(axis=1, keepdim=True)

d2l.set_figsize((6, 4.5))
for i in range(6):
    d2l.plt.plot(estimates[:, i],
                 label=("P(die=" + str(i + 1) + ")"))
d2l.plt.axhline(y=0.167, color='black', linestyle='dashed')
d2l.plt.gca().set_xlabel('Groups of experiments')
d2l.plt.gca().set_ylabel('Estimated probability')
d2l.plt.legend()
<matplotlib.legend.Legend at 0x7fb768648df0>
../_images/output_probability_245b7d_72_1.svg

每条实线对应于骰子的6个值中的一个,并给出骰子在每组实验后出现值的估计概率。 当我们通过更多的实验获得更多的数据时,这\(6\)条实体曲线向真实概率收敛。

2.6.1.1. 概率论公理

在处理骰子掷出时,我们将集合\(\mathcal{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) 称为样本空间(sample space)或结果空间(outcome space), 其中每个元素都是结果(outcome)。 事件(event)是一组给定样本空间的随机结果。 例如,“看到\(5\)”(\(\{5\}\))和“看到奇数”(\(\{1, 3, 5\}\))都是掷出骰子的有效事件。 注意,如果一个随机实验的结果在\(\mathcal{A}\)中,则事件\(\mathcal{A}\)已经发生。 也就是说,如果投掷出\(3\)点,因为\(3 \in \{1, 3, 5\}\),我们可以说,“看到奇数”的事件发生了。

概率(probability)可以被认为是将集合映射到真实值的函数。 在给定的样本空间\(\mathcal{S}\)中,事件\(\mathcal{A}\)的概率, 表示为\(P(\mathcal{A})\),满足以下属性:

  • 对于任意事件\(\mathcal{A}\),其概率从不会是负数,即\(P(\mathcal{A}) \geq 0\)

  • 整个样本空间的概率为\(1\),即\(P(\mathcal{S}) = 1\)

  • 对于互斥(mutually exclusive)事件(对于所有\(i \neq j\)都有\(\mathcal{A}_i \cap \mathcal{A}_j = \emptyset\))的任意一个可数序列\(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots\),序列中任意一个事件发生的概率等于它们各自发生的概率之和,即\(P(\bigcup_{i=1}^{\infty} \mathcal{A}_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(\mathcal{A}_i)\)

以上也是概率论的公理,由科尔莫戈罗夫于1933年提出。 有了这个公理系统,我们可以避免任何关于随机性的哲学争论; 相反,我们可以用数学语言严格地推理。 例如,假设事件\(\mathcal{A}_1\)为整个样本空间, 且当所有\(i > 1\)时的\(\mathcal{A}_i = \emptyset\), 那么我们可以证明\(P(\emptyset) = 0\),即不可能发生事件的概率是\(0\)

2.6.1.2. 随机变量

在我们掷骰子的随机实验中,我们引入了随机变量(random variable)的概念。 随机变量几乎可以是任何数量,并且它可以在随机实验的一组可能性中取一个值。 考虑一个随机变量\(X\),其值在掷骰子的样本空间\(\mathcal{S}=\{1,2,3,4,5,6\}\)中。 我们可以将事件“看到一个\(5\)”表示为\(\{X=5\}\)\(X=5\), 其概率表示为\(P(\{X=5\})\)\(P(X=5)\)。 通过\(P(X=a)\),我们区分了随机变量\(X\)\(X\)可以采取的值(例如\(a\))。 然而,这可能会导致繁琐的表示。 为了简化符号,一方面,我们可以将\(P(X)\)表示为随机变量\(X\)上的分布(distribution): 分布告诉我们\(X\)获得某一值的概率。 另一方面,我们可以简单用\(P(a)\)表示随机变量取值\(a\)的概率。 由于概率论中的事件是来自样本空间的一组结果,因此我们可以为随机变量指定值的可取范围。 例如,\(P(1 \leq X \leq 3)\)表示事件\(\{1 \leq X \leq 3\}\), 即\(\{X = 1, 2, \text{or}, 3\}\)的概率。 等价地,\(P(1 \leq X \leq 3)\)表示随机变量\(X\)\(\{1, 2, 3\}\)中取值的概率。

请注意,离散(discrete)随机变量(如骰子的每一面) 和连续(continuous)随机变量(如人的体重和身高)之间存在微妙的区别。 现实生活中,测量两个人是否具有完全相同的身高没有太大意义。 如果我们进行足够精确的测量,最终会发现这个星球上没有两个人具有完全相同的身高。 在这种情况下,询问某人的身高是否落入给定的区间,比如是否在1.79米和1.81米之间更有意义。 在这些情况下,我们将这个看到某个数值的可能性量化为密度(density)。 高度恰好为1.80米的概率为0,但密度不是0。 在任何两个不同高度之间的区间,我们都有非零的概率。 在本节的其余部分中,我们将考虑离散空间中的概率。 连续随机变量的概率可以参考深度学习数学附录中随机变量 的一节。

2.6.2. 处理多个随机变量

很多时候,我们会考虑多个随机变量。 比如,我们可能需要对疾病和症状之间的关系进行建模。 给定一个疾病和一个症状,比如“流感”和“咳嗽”,以某个概率存在或不存在于某个患者身上。 我们需要估计这些概率以及概率之间的关系,以便我们可以运用我们的推断来实现更好的医疗服务。

再举一个更复杂的例子:图像包含数百万像素,因此有数百万个随机变量。 在许多情况下,图像会附带一个标签(label),标识图像中的对象。 我们也可以将标签视为一个随机变量。 我们甚至可以将所有元数据视为随机变量,例如位置、时间、光圈、焦距、ISO、对焦距离和相机类型。 所有这些都是联合发生的随机变量。 当我们处理多个随机变量时,会有若干个变量是我们感兴趣的。

2.6.2.1. 联合概率

第一个被称为联合概率(joint probability)\(P(A=a,B=b)\)。 给定任意值\(a\)\(b\),联合概率可以回答:\(A=a\)\(B=b\)同时满足的概率是多少? 请注意,对于任何\(a\)\(b\)的取值,\(P(A = a, B=b) \leq P(A=a)\)。 这点是确定的,因为要同时发生\(A=a\)\(B=b\)\(A=a\)就必须发生,\(B=b\)也必须发生(反之亦然)。因此,\(A=a\)\(B=b\)同时发生的可能性不大于\(A=a\)或是\(B=b\)单独发生的可能性。

2.6.2.2. 条件概率

联合概率的不等式带给我们一个有趣的比率: \(0 \leq \frac{P(A=a, B=b)}{P(A=a)} \leq 1\)。 我们称这个比率为条件概率(conditional probability), 并用\(P(B=b \mid A=a)\)表示它:它是\(B=b\)的概率,前提是\(A=a\)已发生。

2.6.2.3. 贝叶斯定理

使用条件概率的定义,我们可以得出统计学中最有用的方程之一: Bayes定理(Bayes’ theorem)。 根据乘法法则(multiplication rule )可得到\(P(A, B) = P(B \mid A) P(A)\)。 根据对称性,可得到\(P(A, B) = P(A \mid B) P(B)\)。 假设\(P(B)>0\),求解其中一个条件变量,我们得到

(2.6.1)\[P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}.\]

请注意,这里我们使用紧凑的表示法: 其中\(P(A, B)\)是一个联合分布(joint distribution), \(P(A \mid B)\)是一个条件分布(conditional distribution)。 这种分布可以在给定值\(A = a, B=b\)上进行求值。

2.6.2.4. 边际化

为了能进行事件概率求和,我们需要求和法则(sum rule), 即\(B\)的概率相当于计算\(A\)的所有可能选择,并将所有选择的联合概率聚合在一起:

(2.6.2)\[P(B) = \sum_{A} P(A, B),\]

这也称为边际化(marginalization)。 边际化结果的概率或分布称为边际概率(marginal probability) 或边际分布(marginal distribution)。

2.6.2.5. 独立性

另一个有用属性是依赖(dependence)与独立(independence)。 如果两个随机变量\(A\)\(B\)是独立的,意味着事件\(A\)的发生跟\(B\)事件的发生无关。 在这种情况下,统计学家通常将这一点表述为\(A \perp B\)。 根据贝叶斯定理,马上就能同样得到\(P(A \mid B) = P(A)\)。 在所有其他情况下,我们称\(A\)\(B\)依赖。 比如,两次连续抛出一个骰子的事件是相互独立的。 相比之下,灯开关的位置和房间的亮度并不是(因为可能存在灯泡坏掉、电源故障,或者开关故障)。

由于\(P(A \mid B) = \frac{P(A, B)}{P(B)} = P(A)\)等价于\(P(A, B) = P(A)P(B)\), 因此两个随机变量是独立的,当且仅当两个随机变量的联合分布是其各自分布的乘积。 同样地,给定另一个随机变量\(C\)时,两个随机变量\(A\)\(B\)条件独立的(conditionally independent), 当且仅当\(P(A, B \mid C) = P(A \mid C)P(B \mid C)\)。 这个情况表示为\(A \perp B \mid C\)

2.6.2.6. 应用

我们实战演练一下! 假设一个医生对患者进行艾滋病病毒(HIV)测试。 这个测试是相当准确的,如果患者健康但测试显示他患病,这个概率只有1%; 如果患者真正感染HIV,它永远不会检测不出。 我们使用\(D_1\)来表示诊断结果(如果阳性,则为\(1\),如果阴性,则为\(0\)), \(H\)来表示感染艾滋病病毒的状态(如果阳性,则为\(1\),如果阴性,则为\(0\))。 在 表2.6.1中列出了这样的条件概率。

表2.6.1 条件概率为\(P(D_1 \mid H)\)

条件概率

\(H=1\)

\(H=0\)

\(P(D_1 = 1 \mid H)\)

1

0.01

\(P(D_1 = 0 \mid H)\)

0

0.99

请注意,每列的加和都是1(但每行的加和不是),因为条件概率需要总和为1,就像概率一样。 让我们计算如果测试出来呈阳性,患者感染HIV的概率,即\(P(H = 1 \mid D_1 = 1)\)。 显然,这将取决于疾病有多常见,因为它会影响错误警报的数量。 假设人口总体是相当健康的,例如,\(P(H=1) = 0.0015\)。 为了应用贝叶斯定理,我们需要运用边际化和乘法法则来确定

(2.6.3)\[\begin{split}\begin{aligned} &P(D_1 = 1) \\ =& P(D_1=1, H=0) + P(D_1=1, H=1) \\ =& P(D_1=1 \mid H=0) P(H=0) + P(D_1=1 \mid H=1) P(H=1) \\ =& 0.011485. \end{aligned}\end{split}\]

因此,我们得到

(2.6.4)\[\begin{split}\begin{aligned} &P(H = 1 \mid D_1 = 1)\\ =& \frac{P(D_1=1 \mid H=1) P(H=1)}{P(D_1=1)} \\ =& 0.1306 \end{aligned}.\end{split}\]

换句话说,尽管使用了非常准确的测试,患者实际上患有艾滋病的几率只有13.06%。 正如我们所看到的,概率可能是违反直觉的。

患者在收到这样可怕的消息后应该怎么办? 很可能,患者会要求医生进行另一次测试来确定病情。 第二个测试具有不同的特性,它不如第一个测试那么精确, 如 表2.6.2所示。

表2.6.2 条件概率为\(P(D_2 \mid H)\)

条件概率

\(H=1\)

\(H=0\)

\(P(D_2 = 1 \mid H)\)

0.98

0.03

\(P(D_2 = 0 \mid H)\)

0.02

0.97

不幸的是,第二次测试也显示阳性。让我们通过假设条件独立性来计算出应用Bayes定理的必要概率:

(2.6.5)\[\begin{split}\begin{aligned} &P(D_1 = 1, D_2 = 1 \mid H = 0) \\ =& P(D_1 = 1 \mid H = 0) P(D_2 = 1 \mid H = 0) \\ =& 0.0003, \end{aligned}\end{split}\]
(2.6.6)\[\begin{split}\begin{aligned} &P(D_1 = 1, D_2 = 1 \mid H = 1) \\ =& P(D_1 = 1 \mid H = 1) P(D_2 = 1 \mid H = 1) \\ =& 0.98. \end{aligned}\end{split}\]

现在我们可以应用边际化和乘法规则:

(2.6.7)\[\begin{split}\begin{aligned} &P(D_1 = 1, D_2 = 1) \\ =& P(D_1 = 1, D_2 = 1, H = 0) + P(D_1 = 1, D_2 = 1, H = 1) \\ =& P(D_1 = 1, D_2 = 1 \mid H = 0)P(H=0) + P(D_1 = 1, D_2 = 1 \mid H = 1)P(H=1)\\ =& 0.00176955. \end{aligned}\end{split}\]

最后,鉴于存在两次阳性检测,患者患有艾滋病的概率为

(2.6.8)\[\begin{split}\begin{aligned} &P(H = 1 \mid D_1 = 1, D_2 = 1)\\ =& \frac{P(D_1 = 1, D_2 = 1 \mid H=1) P(H=1)}{P(D_1 = 1, D_2 = 1)} \\ =& 0.8307. \end{aligned}\end{split}\]

也就是说,第二次测试使我们能够对患病的情况获得更高的信心。 尽管第二次检验比第一次检验的准确性要低得多,但它仍然显著提高我们的预测概率。

2.6.3. 期望和方差

为了概括概率分布的关键特征,我们需要一些测量方法。 一个随机变量\(X\)期望(expectation,或平均值(average))表示为

(2.6.9)\[E[X] = \sum_{x} x P(X = x).\]

当函数\(f(x)\)的输入是从分布\(P\)中抽取的随机变量时,\(f(x)\)的期望值为

(2.6.10)\[E_{x \sim P}[f(x)] = \sum_x f(x) P(x).\]

在许多情况下,我们希望衡量随机变量\(X\)与其期望值的偏置。这可以通过方差来量化

(2.6.11)\[\mathrm{Var}[X] = E\left[(X - E[X])^2\right] = E[X^2] - E[X]^2.\]

方差的平方根被称为标准差(standard deviation)。 随机变量函数的方差衡量的是:当从该随机变量分布中采样不同值\(x\)时, 函数值偏离该函数的期望的程度:

(2.6.12)\[\mathrm{Var}[f(x)] = E\left[\left(f(x) - E[f(x)]\right)^2\right].\]

2.6.4. 小结

  • 我们可以从概率分布中采样。

  • 我们可以使用联合分布、条件分布、Bayes定理、边缘化和独立性假设来分析多个随机变量。

  • 期望和方差为概率分布的关键特征的概括提供了实用的度量形式。

2.6.5. 练习

  1. 进行\(m=500\)组实验,每组抽取\(n=10\)个样本。改变\(m\)\(n\),观察和分析实验结果。

  2. 给定两个概率为\(P(\mathcal{A})\)\(P(\mathcal{B})\)的事件,计算\(P(\mathcal{A} \cup \mathcal{B})\)\(P(\mathcal{A} \cap \mathcal{B})\)的上限和下限。(提示:使用友元图来展示这些情况。)

  3. 假设我们有一系列随机变量,例如\(A\)\(B\)\(C\),其中\(B\)只依赖于\(A\),而\(C\)只依赖于\(B\),能简化联合概率\(P(A, B, C)\)吗?(提示:这是一个马尔可夫链。)

  4. 2.6.2.6节中,第一个测试更准确。为什么不运行第一个测试两次,而是同时运行第一个和第二个测试?