7.6. 残差网络(ResNet)
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随着我们设计越来越深的网络,深刻理解“新添加的层如何提升神经网络的性能”变得至关重要。更重要的是设计网络的能力,在这种网络中,添加层会使网络更具表现力, 为了取得质的突破,我们需要一些数学基础知识。

7.6.1. 函数类

首先,假设有一类特定的神经网络结构 \(\mathcal{F}\),它包括学习速率和其他超参数设置。 对于所有 \(f \in \mathcal{F}\),存在一些参数集(例如权重和偏置),这些参数可以通过在合适的数据集上进行训练而获得。 现在假设 \(f^*\) 是我们真正想要找到的函数,如果是 \(f^* \in \mathcal{F}\),那我们可以轻而易举的训练得到它,但通常我们不会那么幸运。 相反,我们将尝试找到一个函数 \(f^*_\mathcal{F}\),这是我们在 \(\mathcal{F}\) 中的最佳选择。 例如,给定一个具有 \(\mathbf{X}\) 特性和 \(\mathbf{y}\) 标签的数据集,我们可以尝试通过解决以下优化问题来找到它:

(7.6.1)\[f^*_\mathcal{F} := \mathop{\mathrm{argmin}}_f L(\mathbf{X}, \mathbf{y}, f) \text{ subject to } f \in \mathcal{F}.\]

那么,怎样得到更近似真正 \(f^*\) 的函数呢? 唯一合理的可能性是,我们需要设计一个更强大的结构 \(\mathcal{F}'\)。 换句话说,我们预计 \(f^*_{\mathcal{F}'}\)\(f^*_{\mathcal{F}}\) “更近似”。 然而,如果 \(\mathcal{F} \not\subseteq \mathcal{F}'\),则无法保证新的体系“更近似”。 事实上, \(f^*_{\mathcal{F}'}\) 可能更糟: 如 图7.6.1 所示,对于非嵌套函数(non-nested function)类,较复杂的函数类并不总是向“真”函数 \(f^*\) 靠拢(复杂度由 \(\mathcal{F}_1\)\(\mathcal{F}_6\) 递增)。 在 图7.6.1 的左边,虽然 \(\mathcal{F}_3\)\(f^*\) 更接近 \(f^*\),但\(\mathcal{F}_6\) 却离的更远了。 相反对于 图7.6.1 右侧的嵌套函数(nested function)类 \(\mathcal{F}_1 \subseteq \ldots \subseteq \mathcal{F}_6\),我们可以避免上述问题。

../_images/functionclasses.svg

图7.6.1 对于非嵌套函数类,较复杂(由较大区域表示)的函数类不能保证更接近“真”函数( \(f^*\) )。这种现象在嵌套函数类中不会发生。

因此,只有当较复杂的函数类包含较小的函数类时,我们才能确保提高它们的性能。 对于深度神经网络,如果我们能将新添加的层训练成 恒等映射(identity function) \(f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}\) ,新模型和原模型将同样有效。 同时,由于新模型可能得出更优的解来拟合训练数据集,因此添加层似乎更容易降低训练误差。

针对这一问题,何恺明等人提出了残差网络(ResNet) [He et al., 2016a]。 它在2015年的ImageNet图像识别挑战赛夺魁,并深刻影响了后来的深度神经网络的设计。 残差网络的核心思想是:每个附加层都应该更容易地包含原始函数作为其元素之一。 于是,残差块 (residual blocks) 便诞生了,这个设计对如何建立深层神经网络产生了深远的影响。 凭借它,ResNet 赢得了 2015 年 ImageNet 大规模视觉识别挑战赛。。

7.6.2. 残差块

让我们聚焦于神经网络局部:如图 图7.6.2 所示,假设我们的原始输入为 \(x\) ,而希望学出的理想映射为 \(f(\mathbf{x})\) (作为 图7.6.2 上方激活函数的输入)。 图7.6.2 左图虚线框中的部分需要直接拟合出该映射 \(f(\mathbf{x})\) ,而右图虚线框中的部分则需要拟合出残差映射 \(f(\mathbf{x}) - \mathbf{x}\) 。 残差映射在现实中往往更容易优化。 以本节开头提到的恒等映射作为我们希望学出的理想映射 \(f(\mathbf{x})\) ,我们只需将 图7.6.2 中右图虚线框内上方的加权运算(如仿射)的权重和偏置参数设成 0,那么 \(f(\mathbf{x})\) 即为恒等映射。 实际中,当理想映射 \(f(\mathbf{x})\) 极接近于恒等映射时,残差映射也易于捕捉恒等映射的细微波动。 图7.6.2 右图是 ResNet 的基础结构– 残差块(residual block)。 在残差块中,输入可通过跨层数据线路更快地向前传播。

../_images/residual-block.svg

图7.6.2 一个正常块(左图)和一个残差块(右图)。

ResNet 沿用了 VGG 完整的 \(3\times 3\) 卷积层设计。 残差块里首先有 2 个有相同输出通道数的 \(3\times 3\) 卷积层。 每个卷积层后接一个批量归一化层和 ReLU 激活函数。 然后我们通过跨层数据通路,跳过这 2 个卷积运算,将输入直接加在最后的 ReLU 激活函数前。 这样的设计要求 2 个卷积层的输出与输入形状一样,从而可以相加。 如果想改变通道数,就需要引入一个额外的 \(1\times 1\) 卷积层来将输入变换成需要的形状后再做相加运算。 残差块的实现如下:

from mxnet import np, npx
from mxnet.gluon import nn
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

class Residual(nn.Block):  #@save
    def __init__(self, num_channels, use_1x1conv=False, strides=1, **kwargs):
        super().__init__(**kwargs)
        self.conv1 = nn.Conv2D(num_channels, kernel_size=3, padding=1,
                               strides=strides)
        self.conv2 = nn.Conv2D(num_channels, kernel_size=3, padding=1)
        if use_1x1conv:
            self.conv3 = nn.Conv2D(num_channels, kernel_size=1,
                                   strides=strides)
        else:
            self.conv3 = None
        self.bn1 = nn.BatchNorm()
        self.bn2 = nn.BatchNorm()

    def forward(self, X):
        Y = npx.relu(self.bn1(self.conv1(X)))
        Y = self.bn2(self.conv2(Y))
        if self.conv3:
            X = self.conv3(X)
        return npx.relu(Y + X)
import torch
from torch import nn
from torch.nn import functional as F
from d2l import torch as d2l

class Residual(nn.Module):  #@save
    def __init__(self, input_channels, num_channels, use_1x1conv=False,
                 strides=1):
        super().__init__()
        self.conv1 = nn.Conv2d(input_channels, num_channels, kernel_size=3,
                               padding=1, stride=strides)
        self.conv2 = nn.Conv2d(num_channels, num_channels, kernel_size=3,
                               padding=1)
        if use_1x1conv:
            self.conv3 = nn.Conv2d(input_channels, num_channels,
                                   kernel_size=1, stride=strides)
        else:
            self.conv3 = None
        self.bn1 = nn.BatchNorm2d(num_channels)
        self.bn2 = nn.BatchNorm2d(num_channels)
        self.relu = nn.ReLU(inplace=True)

    def forward(self, X):
        Y = F.relu(self.bn1(self.conv1(X)))
        Y = self.bn2(self.conv2(Y))
        if self.conv3:
            X = self.conv3(X)
        Y += X
        return F.relu(Y)
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l

class Residual(tf.keras.Model):  #@save
    def __init__(self, num_channels, use_1x1conv=False, strides=1):
        super().__init__()
        self.conv1 = tf.keras.layers.Conv2D(num_channels, padding='same',
                                            kernel_size=3, strides=strides)
        self.conv2 = tf.keras.layers.Conv2D(num_channels, kernel_size=3,
                                            padding='same')
        self.conv3 = None
        if use_1x1conv:
            self.conv3 = tf.keras.layers.Conv2D(num_channels, kernel_size=1,
                                                strides=strides)
        self.bn1 = tf.keras.layers.BatchNormalization()
        self.bn2 = tf.keras.layers.BatchNormalization()

    def call(self, X):
        Y = tf.keras.activations.relu(self.bn1(self.conv1(X)))
        Y = self.bn2(self.conv2(Y))
        if self.conv3 is not None:
            X = self.conv3(X)
        Y += X
        return tf.keras.activations.relu(Y)

如图 图7.6.3 所示,此代码生成两种类型的网络: 一种是在 use_1x1conv=False 、应用 ReLU 非线性函数之前,将输入添加到输出。 另一种是在 use_1x1conv=True 时,添加通过 \(1 \times 1\) 卷积调整通道和分辨率。

../_images/resnet-block.svg

图7.6.3 包含以及不包含 \(1 \times 1\) 卷积层的残差块。

下面我们来查看输入和输出形状一致的情况。

blk = Residual(3)
blk.initialize()
X = np.random.uniform(size=(4, 3, 6, 6))
blk(X).shape
(4, 3, 6, 6)
blk = Residual(3, 3)
X = torch.rand(4, 3, 6, 6)
Y = blk(X)
Y.shape
torch.Size([4, 3, 6, 6])
blk = Residual(3)
X = tf.random.uniform((4, 6, 6, 3))
Y = blk(X)
Y.shape
TensorShape([4, 6, 6, 3])

我们也可以在增加输出通道数的同时减半输出的高和宽。

blk = Residual(6, use_1x1conv=True, strides=2)
blk.initialize()
blk(X).shape
(4, 6, 3, 3)
blk = Residual(3, 6, use_1x1conv=True, strides=2)
blk(X).shape
torch.Size([4, 6, 3, 3])
blk = Residual(6, use_1x1conv=True, strides=2)
blk(X).shape
TensorShape([4, 3, 3, 6])

7.6.3. ResNet模型

ResNet 的前两层跟之前介绍的 GoogLeNet 中的一样: 在输出通道数为 64、步幅为 2 的 \(7 \times 7\) 卷积层后,接步幅为 2 的 \(3 \times 3\) 的最大池化层。 不同之处在于 ResNet 每个卷积层后增加了批量归一化层。

net = nn.Sequential()
net.add(nn.Conv2D(64, kernel_size=7, strides=2, padding=3), nn.BatchNorm(),
        nn.Activation('relu'), nn.MaxPool2D(pool_size=3, strides=2,
                                            padding=1))
b1 = nn.Sequential(nn.Conv2d(1, 64, kernel_size=7, stride=2, padding=3),
                   nn.BatchNorm2d(64), nn.ReLU(),
                   nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1))
b1 = tf.keras.models.Sequential([
    tf.keras.layers.Conv2D(64, kernel_size=7, strides=2, padding='same'),
    tf.keras.layers.BatchNormalization(),
    tf.keras.layers.Activation('relu'),
    tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=3, strides=2, padding='same')])

GoogLeNet 在后面接了 4 个由Inception块组成的模块。 ResNet 则使用 4 个由残差块组成的模块,每个模块使用若干个同样输出通道数的残差块。 第一个模块的通道数同输入通道数一致。 由于之前已经使用了步幅为 2 的最大池化层,所以无须减小高和宽。 之后的每个模块在第一个残差块里将上一个模块的通道数翻倍,并将高和宽减半。

下面我们来实现这个模块。注意,我们对第一个模块做了特别处理。

def resnet_block(num_channels, num_residuals, first_block=False):
    blk = nn.Sequential()
    for i in range(num_residuals):
        if i == 0 and not first_block:
            blk.add(Residual(num_channels, use_1x1conv=True, strides=2))
        else:
            blk.add(Residual(num_channels))
    return blk
def resnet_block(input_channels, num_channels, num_residuals,
                 first_block=False):
    blk = []
    for i in range(num_residuals):
        if i == 0 and not first_block:
            blk.append(
                Residual(input_channels, num_channels, use_1x1conv=True,
                         strides=2))
        else:
            blk.append(Residual(num_channels, num_channels))
    return blk
class ResnetBlock(tf.keras.layers.Layer):
    def __init__(self, num_channels, num_residuals, first_block=False,
                 **kwargs):
        super(ResnetBlock, self).__init__(**kwargs)
        self.residual_layers = []
        for i in range(num_residuals):
            if i == 0 and not first_block:
                self.residual_layers.append(
                    Residual(num_channels, use_1x1conv=True, strides=2))
            else:
                self.residual_layers.append(Residual(num_channels))

    def call(self, X):
        for layer in self.residual_layers.layers:
            X = layer(X)
        return X

接着在 ResNet 加入所有残差块,这里每个模块使用 2 个残差块。

net.add(resnet_block(64, 2, first_block=True), resnet_block(128, 2),
        resnet_block(256, 2), resnet_block(512, 2))
b2 = nn.Sequential(*resnet_block(64, 64, 2, first_block=True))
b3 = nn.Sequential(*resnet_block(64, 128, 2))
b4 = nn.Sequential(*resnet_block(128, 256, 2))
b5 = nn.Sequential(*resnet_block(256, 512, 2))
b2 = ResnetBlock(64, 2, first_block=True)
b3 = ResnetBlock(128, 2)
b4 = ResnetBlock(256, 2)
b5 = ResnetBlock(512, 2)

最后,与 GoogLeNet 一样,在 ResNet 中加入全局平均池化层,以及全连接层输出。

net.add(nn.GlobalAvgPool2D(), nn.Dense(10))
net = nn.Sequential(b1, b2, b3, b4, b5, nn.AdaptiveAvgPool2d((1, 1)),
                    nn.Flatten(), nn.Linear(512, 10))
# 回想之前我们定义一个函数,以便用它在 `tf.distribute.MirroredStrategy` 的范围,
# 来利用各种计算资源,例如gpu。另外,尽管我们已经创建了b1、b2、b3、b4、b5,
# 但是我们将在这个函数的作用域内重新创建它们
def net():
    return tf.keras.Sequential([
        # The following layers are the same as b1 that we created earlier
        tf.keras.layers.Conv2D(64, kernel_size=7, strides=2, padding='same'),
        tf.keras.layers.BatchNormalization(),
        tf.keras.layers.Activation('relu'),
        tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=3, strides=2, padding='same'),
        # The following layers are the same as b2, b3, b4, and b5 that we
        # created earlier
        ResnetBlock(64, 2, first_block=True),
        ResnetBlock(128, 2),
        ResnetBlock(256, 2),
        ResnetBlock(512, 2),
        tf.keras.layers.GlobalAvgPool2D(),
        tf.keras.layers.Dense(units=10)])

每个模块有 4 个卷积层(不包括恒等映射的 \(1\times 1\) 卷积层)。 加上第一个 \(7\times 7\) 卷积层和最后一个全连接层,共有 18 层。 因此,这种模型通常被称为 ResNet-18。 通过配置不同的通道数和模块里的残差块数可以得到不同的 ResNet 模型,例如更深的含 152 层的 ResNet-152。 虽然 ResNet 的主体结构跟 GoogLeNet类似,但 ResNet 结构更简单,修改也更方便。这些因素都导致了 ResNet 迅速被广泛使用。 图7.6.4 描述了完整的 ResNet-18。

../_images/resnet18.svg

图7.6.4 ResNet-18 架构

在训练 ResNet 之前,让我们观察一下 ResNet 中不同模块的输入形状是如何变化的。 在之前所有架构中,分辨率降低,通道数量增加,直到全局平均池化层聚集所有特征。

X = np.random.uniform(size=(1, 1, 224, 224))
net.initialize()
for layer in net:
    X = layer(X)
    print(layer.name, 'output shape:\t', X.shape)
conv5 output shape:  (1, 64, 112, 112)
batchnorm4 output shape:     (1, 64, 112, 112)
relu0 output shape:  (1, 64, 112, 112)
pool0 output shape:  (1, 64, 56, 56)
sequential1 output shape:    (1, 64, 56, 56)
sequential2 output shape:    (1, 128, 28, 28)
sequential3 output shape:    (1, 256, 14, 14)
sequential4 output shape:    (1, 512, 7, 7)
pool1 output shape:  (1, 512, 1, 1)
dense0 output shape:         (1, 10)
X = torch.rand(size=(1, 1, 224, 224))
for layer in net:
    X = layer(X)
    print(layer.__class__.__name__, 'output shape:\t', X.shape)
Sequential output shape:     torch.Size([1, 64, 56, 56])
Sequential output shape:     torch.Size([1, 64, 56, 56])
Sequential output shape:     torch.Size([1, 128, 28, 28])
Sequential output shape:     torch.Size([1, 256, 14, 14])
Sequential output shape:     torch.Size([1, 512, 7, 7])
AdaptiveAvgPool2d output shape:      torch.Size([1, 512, 1, 1])
Flatten output shape:        torch.Size([1, 512])
Linear output shape:         torch.Size([1, 10])
X = tf.random.uniform(shape=(1, 224, 224, 1))
for layer in net().layers:
    X = layer(X)
    print(layer.__class__.__name__, 'output shape:\t', X.shape)
Conv2D output shape:         (1, 112, 112, 64)
BatchNormalization output shape:     (1, 112, 112, 64)
Activation output shape:     (1, 112, 112, 64)
MaxPooling2D output shape:   (1, 56, 56, 64)
ResnetBlock output shape:    (1, 56, 56, 64)
ResnetBlock output shape:    (1, 28, 28, 128)
ResnetBlock output shape:    (1, 14, 14, 256)
ResnetBlock output shape:    (1, 7, 7, 512)
GlobalAveragePooling2D output shape:         (1, 512)
Dense output shape:  (1, 10)

7.6.4. 训练 ResNet

同之前一样,我们在 Fashion-MNIST 数据集上训练 ResNet。

lr, num_epochs, batch_size = 0.05, 10, 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=96)
d2l.train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())
loss 0.014, train acc 0.997, test acc 0.897
4772.6 examples/sec on gpu(0)
../_images/output_resnet_46beba_99_1.svg
lr, num_epochs, batch_size = 0.05, 10, 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=96)
d2l.train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())
loss 0.010, train acc 0.998, test acc 0.908
4673.4 examples/sec on cuda:0
../_images/output_resnet_46beba_102_1.svg
lr, num_epochs, batch_size = 0.05, 10, 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=96)
d2l.train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())
loss 0.005, train acc 0.999, test acc 0.924
5246.6 examples/sec on /GPU:0
<tensorflow.python.keras.engine.sequential.Sequential at 0x7f0ee60d0340>
../_images/output_resnet_46beba_105_2.svg

7.6.5. 小结

  • 学习嵌套函数(nested function)是训练神经网络的理想情况。在深层神经网络中,学习另一层作为恒等映射(identity function)较容易(尽管这是一个极端情况)。

  • 残差映射可以更容易地学习同一函数,例如将权重层中的参数近似为零。

  • 利用残差块(residual blocks)可以训练出一个有效的深层神经网络:输入可以通过层间的残余连接更快地向前传播。

  • 残差网络(ResNet)对随后的深层神经网络设计产生了深远影响,无论是卷积类网络还是全连接类网络。

7.6.6. 练习

  1. 图7.4.1 中的Inception块与残差块之间的主要区别是什么?在删除了Inception块中的一些路径之后,它们是如何相互关联的?

  2. 参考 ResNet 论文 [He et al., 2016a] 中的表 1,以实现不同的变体。

  3. 对于更深层次的网络,ResNet 引入了“bottleneck”架构来降低模型复杂性。请你试着去实现它。

  4. 在 ResNet 的后续版本中,作者将“卷积层、批量归一化层和激活层”结构更改为“批量归一化层、激活层和卷积层”结构。请你做这个改进。详见 [He et al., 2016b] 中的图 1。

  5. 为什么即使函数类是嵌套的,我们仍然要限制增加函数的复杂性呢?