6.5. 池化层
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通常当我们处理图像时,我们希望逐渐降低隐藏表示的空间分辨率,聚集信息,这样的随着我们在神经网络中层叠的上升,每个神经元对其敏感的感受野(输入)就越大。

而我们的机器学习任务通常会跟全局图像的问题有关(例如,“图像是否包含一只猫呢?”), 所以我们最后一层的神经元应该对整个输入的全局敏感。通过逐渐聚合信息,生成越来越粗糙的映射,最终实现学习全局表示的目标,同时将卷积图层的所有优势保留在中间层。

此外,当检测较底层的特征时(例如 6.2节 中所讨论的边缘),我们通常希望这些特征保持某种程度上的平移不变性。例如,如果我们拍摄黑白之间轮廓清晰的图像 X,并将整个图像向右移动一个像素,即 Z[i, j] = X[i, j + 1],则新图像 Z 的输出可能大不相同。而在现实中,随着拍摄角度的移动,任何物体几乎不可能发生在同一像素上。即使用三脚架拍摄一个静止的物体,由于快门的移动而引起的相机振动,可能会使所有物体左右移动一个像素(除了高端相机配备了特殊功能来解决这个问题)。

本节将介绍 池化(pooling)层,它具有双重目的:降低卷积层对位置的敏感性,同时降低对空间降采样表示的敏感性。

6.5.1. 最大池化层和平均池化层

与卷积层类似,池化层运算符由一个固定形状的窗口组成,该窗口根据其步幅大小在输入的所有区域上滑动,为固定形状窗口(有时称为 池化窗口)遍历的每个位置计算一个输出。 然而,不同于卷积层中的输入与卷积核之间的互相关计算,池化层不包含参数。 相反,池运算符是确定性的,我们通常计算池化窗口中所有元素的最大值或平均值。这些操作分别称为 最大池化层 (maximum pooling)和 平均池化层 (average pooling)。

在这两种情况下,与互相关运算符一样,池化窗口从输入张量的左上角开始,从左到右、从上到下的在输入张量内滑动。在池化窗口到达的每个位置,它计算该窗口中输入子张量的最大值或平均值,具体取决于是使用了最大池化层还是平均池化层。

../_images/pooling.svg

图6.5.1 池化窗口形状为 \(2\times 2\) 的最大池化层。着色部分是第一个输出元素,以及用于计算这个输出的输入元素: \(\max(0, 1, 3, 4)=4\).

图6.5.1 中的输出张量的高度为 \(2\),宽度为 \(2\)。这四个元素为每个池化窗口中的最大值:

(6.5.1)\[\begin{split}\max(0, 1, 3, 4)=4,\\ \max(1, 2, 4, 5)=5,\\ \max(3, 4, 6, 7)=7,\\ \max(4, 5, 7, 8)=8.\\\end{split}\]

池化窗口形状为 \(p \times q\) 的池化层称为 \(p \times q\) 池化层,池化操作称为 \(p \times q\) 池化。

回到本节开头提到的对象边缘检测示例,现在我们将使用卷积层的输出作为 \(2\times 2\) 最大池化的输入。 设置卷积层输入为 X,池化层输出为 Y。 无论 X[i, j]X[i, j + 1] 的值是否不同,或 X[i, j + 1]X[i, j + 2] 的值是否不同,池化层始终输出 Y[i, j] = 1。 也就是说,使用 \(2\times 2\) 最大池化层,即使在高度或宽度上移动一个元素,卷积层仍然可以识别到模式。

在下面的代码中的 pool2d 函数,实现了池化层的正向传播。 此功能类似于 6.2节 中的 corr2d 函数。 然而,这里我们没有卷积核,输出为输入中每个区域的最大值或平均值。

from mxnet import np, npx
from mxnet.gluon import nn
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
    p_h, p_w = pool_size
    Y = np.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            if mode == 'max':
                Y[i, j] = X[i:i + p_h, j:j + p_w].max()
            elif mode == 'avg':
                Y[i, j] = X[i:i + p_h, j:j + p_w].mean()
    return Y
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
    p_h, p_w = pool_size
    Y = torch.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            if mode == 'max':
                Y[i, j] = X[i:i + p_h, j:j + p_w].max()
            elif mode == 'avg':
                Y[i, j] = X[i:i + p_h, j:j + p_w].mean()
    return Y
import tensorflow as tf

def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
    p_h, p_w = pool_size
    Y = tf.Variable(tf.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1)))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            if mode == 'max':
                Y[i, j].assign(tf.reduce_max(X[i:i + p_h, j:j + p_w]))
            elif mode == 'avg':
                Y[i, j].assign(tf.reduce_mean(X[i:i + p_h, j:j + p_w]))
    return Y

我们可以构建 图6.5.1 中的输入张量 X,验证二维最大池化层的输出。

X = np.array([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
array([[4., 5.],
       [7., 8.]])
X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
tensor([[4., 5.],
        [7., 8.]])
X = tf.constant([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
<tf.Variable 'Variable:0' shape=(2, 2) dtype=float32, numpy=
array([[4., 5.],
       [7., 8.]], dtype=float32)>

此外,我们还可以验证平均池化层。

pool2d(X, (2, 2), 'avg')
array([[2., 3.],
       [5., 6.]])
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
tensor([[2., 3.],
        [5., 6.]])
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
<tf.Variable 'Variable:0' shape=(2, 2) dtype=float32, numpy=
array([[2., 3.],
       [5., 6.]], dtype=float32)>

6.5.2. 填充和步幅

与卷积层一样,池化层也可以改变输出形状。和以前一样,我们可以通过填充和步幅以获得所需的输出形状。 下面,我们用深度学习框架中内置的二维最大池化层,来演示池化层中填充和步幅的使用。 我们首先构造了一个输入张量 X,它有四个维度,其中样本数和通道数都是 1。

X = np.arange(16, dtype=np.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X
array([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.]]]])
X = torch.arange(16, dtype=torch.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X
tensor([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
          [ 4.,  5.,  6.,  7.],
          [ 8.,  9., 10., 11.],
          [12., 13., 14., 15.]]]])
X = tf.reshape(tf.range(16, dtype=tf.float32), (1, 4, 4, 1))
X
<tf.Tensor: shape=(1, 4, 4, 1), dtype=float32, numpy=
array([[[[ 0.],
         [ 1.],
         [ 2.],
         [ 3.]],

        [[ 4.],
         [ 5.],
         [ 6.],
         [ 7.]],

        [[ 8.],
         [ 9.],
         [10.],
         [11.]],

        [[12.],
         [13.],
         [14.],
         [15.]]]], dtype=float32)>

默认情况下,深度学习框架中的步幅与池化窗口的大小相同。 因此,如果我们使用形状为 (3, 3) 的池化窗口,那么默认情况下,我们得到的步幅形状为 (3, 3)

pool2d = nn.MaxPool2D(3)
# 由于池化层中没有参数,所以不需要调用初始化函数
pool2d(X)
array([[[[10.]]]])
pool2d = nn.MaxPool2d(3)
pool2d(X)
tensor([[[[10.]]]])
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[3, 3])
pool2d(X)
<tf.Tensor: shape=(1, 1, 1, 1), dtype=float32, numpy=array([[[[10.]]]], dtype=float32)>

填充和步幅可以手动设定。

pool2d = nn.MaxPool2D(3, padding=1, strides=2)
pool2d(X)
array([[[[ 5.,  7.],
         [13., 15.]]]])
pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
tensor([[[[ 5.,  7.],
          [13., 15.]]]])
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[3, 3], padding='same',
                                   strides=2)
pool2d(X)
<tf.Tensor: shape=(1, 2, 2, 1), dtype=float32, numpy=
array([[[[10.],
         [11.]],

        [[14.],
         [15.]]]], dtype=float32)>

当然,我们可以设定一个任意大小的矩形池化窗口,并分别设定填充和步幅的高度和宽度。

pool2d = nn.MaxPool2D((2, 3), padding=(1, 2), strides=(2, 3))
pool2d(X)
array([[[[ 0.,  3.],
         [ 8., 11.],
         [12., 15.]]]])
pool2d = nn.MaxPool2d((2, 3), padding=(1, 1), stride=(2, 3))
pool2d(X)
tensor([[[[ 1.,  3.],
          [ 9., 11.],
          [13., 15.]]]])
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[2, 3], padding='same',
                                   strides=(2, 3))
pool2d(X)
<tf.Tensor: shape=(1, 2, 2, 1), dtype=float32, numpy=
array([[[[ 5.],
         [ 7.]],

        [[13.],
         [15.]]]], dtype=float32)>

6.5.3. 多个通道

在处理多通道输入数据时,池化层在每个输入通道上单独运算,而不是像卷积层一样在通道上对输入进行汇总。 这意味着池化层的输出通道数与输入通道数相同。 下面,我们将在通道维度上连结张量 XX + 1,以构建具有 2 个通道的输入。

X = np.concatenate((X, X + 1), 1)
X
array([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.]],

        [[ 1.,  2.,  3.,  4.],
         [ 5.,  6.,  7.,  8.],
         [ 9., 10., 11., 12.],
         [13., 14., 15., 16.]]]])
X = torch.cat((X, X + 1), 1)
X
tensor([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
          [ 4.,  5.,  6.,  7.],
          [ 8.,  9., 10., 11.],
          [12., 13., 14., 15.]],

         [[ 1.,  2.,  3.,  4.],
          [ 5.,  6.,  7.,  8.],
          [ 9., 10., 11., 12.],
          [13., 14., 15., 16.]]]])
X = tf.reshape(tf.stack([X, X + 1], 0), (1, 2, 4, 4))

如下所示,池化后输出通道的数量仍然是 2。

pool2d = nn.MaxPool2D(3, padding=1, strides=2)
pool2d(X)
array([[[[ 5.,  7.],
         [13., 15.]],

        [[ 6.,  8.],
         [14., 16.]]]])
pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
tensor([[[[ 5.,  7.],
          [13., 15.]],

         [[ 6.,  8.],
          [14., 16.]]]])
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(3, padding='same', strides=2)
pool2d(X)
<tf.Tensor: shape=(1, 1, 2, 4), dtype=float32, numpy=
array([[[[ 9., 10., 11., 12.],
         [13., 14., 15., 16.]]]], dtype=float32)>

6.5.4. 小结

  • 对于给定输入元素,最大池化层会输出该窗口内的最大值,平均池化层会输出该窗口内的平均值。

  • 池化层的主要优点之一是减轻卷积层对位置的过度敏感。

  • 我们可以指定池化层的填充和步幅。

  • 使用最大池化层以及大于 1 的步幅,可减少空间维度(如高度和宽度)。

  • 池化层的输出通道数与输入通道数相同。

6.5.5. 练习

  1. 你能将平均池化层作为卷积层的特殊情况实现吗?

  2. 你能将最大池化层作为卷积层的特殊情况实现吗?

  3. 假设池化层的输入大小为 \(c\times h\times w\),则池化窗口的形状为 \(p_h\times p_w\),填充为 \((p_h, p_w)\),步幅为 \((s_h, s_w)\)。这个池化层的计算成本是多少?

  4. 为什么最大池化层和平均池化层的工作方式不同?

  5. 我们是否需要最小池化层?可以用已知函数替换它吗?

  6. 除了平均池化层和最大池化层,是否有其它函数可以考虑(提示:回忆 softmax )?为什么它可能不受欢迎?