6.5. 汇聚层
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通常当我们处理图像时,我们希望逐渐降低隐藏表示的空间分辨率、聚集信息,这样随着我们在神经网络中层叠的上升,每个神经元对其敏感的感受野(输入)就越大。

而我们的机器学习任务通常会跟全局图像的问题有关(例如,“图像是否包含一只猫呢?”),所以我们最后一层的神经元应该对整个输入的全局敏感。通过逐渐聚合信息,生成越来越粗糙的映射,最终实现学习全局表示的目标,同时将卷积图层的所有优势保留在中间层。

此外,当检测较底层的特征时(例如 6.2节中所讨论的边缘),我们通常希望这些特征保持某种程度上的平移不变性。例如,如果我们拍摄黑白之间轮廓清晰的图像X,并将整个图像向右移动一个像素,即Z[i, j] = X[i, j + 1],则新图像Z的输出可能大不相同。而在现实中,随着拍摄角度的移动,任何物体几乎不可能发生在同一像素上。即使用三脚架拍摄一个静止的物体,由于快门的移动而引起的相机振动,可能会使所有物体左右移动一个像素(除了高端相机配备了特殊功能来解决这个问题)。

本节将介绍汇聚(pooling)层,它具有双重目的:降低卷积层对位置的敏感性,同时降低对空间降采样表示的敏感性。

6.5.1. 最大汇聚层和平均汇聚层

与卷积层类似,汇聚层运算符由一个固定形状的窗口组成,该窗口根据其步幅大小在输入的所有区域上滑动,为固定形状窗口(有时称为汇聚窗口)遍历的每个位置计算一个输出。 然而,不同于卷积层中的输入与卷积核之间的互相关计算,汇聚层不包含参数。 相反,池运算是确定性的,我们通常计算汇聚窗口中所有元素的最大值或平均值。这些操作分别称为最大汇聚层(maximum pooling)和平均汇聚层(average pooling)。

在这两种情况下,与互相关运算符一样,汇聚窗口从输入张量的左上角开始,从左往右、从上往下的在输入张量内滑动。在汇聚窗口到达的每个位置,它计算该窗口中输入子张量的最大值或平均值。计算最大值或平均值是取决于使用了最大汇聚层还是平均汇聚层。

../_images/pooling.svg

图6.5.1 汇聚窗口形状为 \(2\times 2\) 的最大汇聚层。着色部分是第一个输出元素,以及用于计算这个输出的输入元素: \(\max(0, 1, 3, 4)=4\).

图6.5.1中的输出张量的高度为\(2\),宽度为\(2\)。这四个元素为每个汇聚窗口中的最大值:

(6.5.1)\[\begin{split}\max(0, 1, 3, 4)=4,\\ \max(1, 2, 4, 5)=5,\\ \max(3, 4, 6, 7)=7,\\ \max(4, 5, 7, 8)=8.\\\end{split}\]

汇聚窗口形状为\(p \times q\)的汇聚层称为\(p \times q\)汇聚层,汇聚操作称为\(p \times q\)汇聚。

回到本节开头提到的对象边缘检测示例,现在我们将使用卷积层的输出作为\(2\times 2\)最大汇聚的输入。 设置卷积层输入为X,汇聚层输出为Y。 无论X[i, j]X[i, j + 1]的值相同与否,或X[i, j + 1]X[i, j + 2]的值相同与否,汇聚层始终输出Y[i, j] = 1。 也就是说,使用\(2\times 2\)最大汇聚层,即使在高度或宽度上移动一个元素,卷积层仍然可以识别到模式。

在下面的代码中的pool2d函数,我们实现汇聚层的前向传播。 这类似于 6.2节中的corr2d函数。 然而,这里我们没有卷积核,输出为输入中每个区域的最大值或平均值。

from mxnet import np, npx
from mxnet.gluon import nn
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
    p_h, p_w = pool_size
    Y = np.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            if mode == 'max':
                Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
            elif mode == 'avg':
                Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
    return Y
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
    p_h, p_w = pool_size
    Y = torch.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            if mode == 'max':
                Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
            elif mode == 'avg':
                Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
    return Y
import tensorflow as tf


def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
    p_h, p_w = pool_size
    Y = tf.Variable(tf.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w +1)))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            if mode == 'max':
                Y[i, j].assign(tf.reduce_max(X[i: i + p_h, j: j + p_w]))
            elif mode =='avg':
                Y[i, j].assign(tf.reduce_mean(X[i: i + p_h, j: j + p_w]))
    return Y
import warnings
from d2l import paddle as d2l

warnings.filterwarnings("ignore")
import paddle
from paddle import nn

def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
    p_h, p_w = pool_size
    Y = paddle.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            if mode == 'max':
                Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
            elif mode == 'avg':
                Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
    return Y

我们可以构建 图6.5.1中的输入张量X,验证二维最大汇聚层的输出。

X = np.array([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
[07:22:08] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU
array([[4., 5.],
       [7., 8.]])
X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
tensor([[4., 5.],
        [7., 8.]])
X = tf.constant([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
<tf.Variable 'Variable:0' shape=(2, 2) dtype=float32, numpy=
array([[4., 5.],
       [7., 8.]], dtype=float32)>
X = paddle.to_tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
Tensor(shape=[2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
       [[4., 5.],
        [7., 8.]])

此外,我们还可以验证平均汇聚层。

pool2d(X, (2, 2), 'avg')
array([[2., 3.],
       [5., 6.]])
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
tensor([[2., 3.],
        [5., 6.]])
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
<tf.Variable 'Variable:0' shape=(2, 2) dtype=float32, numpy=
array([[2., 3.],
       [5., 6.]], dtype=float32)>
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
Tensor(shape=[2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
       [[2., 3.],
        [5., 6.]])

6.5.2. 填充和步幅

与卷积层一样,汇聚层也可以改变输出形状。和以前一样,我们可以通过填充和步幅以获得所需的输出形状。 下面,我们用深度学习框架中内置的二维最大汇聚层,来演示汇聚层中填充和步幅的使用。 我们首先构造了一个输入张量X,它有四个维度,其中样本数和通道数都是1。

X = np.arange(16, dtype=np.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X
array([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.]]]])
X = torch.arange(16, dtype=torch.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X
tensor([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
          [ 4.,  5.,  6.,  7.],
          [ 8.,  9., 10., 11.],
          [12., 13., 14., 15.]]]])

请注意,Tensorflow采用“通道最后”(channels-last)语法,对其进行优化, (即Tensorflow中输入的最后维度是通道)。

X = tf.reshape(tf.range(16, dtype=tf.float32), (1, 4, 4, 1))
X
<tf.Tensor: shape=(1, 4, 4, 1), dtype=float32, numpy=
array([[[[ 0.],
         [ 1.],
         [ 2.],
         [ 3.]],

        [[ 4.],
         [ 5.],
         [ 6.],
         [ 7.]],

        [[ 8.],
         [ 9.],
         [10.],
         [11.]],

        [[12.],
         [13.],
         [14.],
         [15.]]]], dtype=float32)>
X = paddle.arange(16, dtype="float32").reshape((1, 1, 4, 4))
X
Tensor(shape=[1, 1, 4, 4], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
       [[[[0. , 1. , 2. , 3. ],
          [4. , 5. , 6. , 7. ],
          [8. , 9. , 10., 11.],
          [12., 13., 14., 15.]]]])

默认情况下,深度学习框架中的步幅与汇聚窗口的大小相同。 因此,如果我们使用形状为(3, 3)的汇聚窗口,那么默认情况下,我们得到的步幅形状为(3, 3)

pool2d = nn.MaxPool2D(3)
# 由于汇聚层中没有参数,所以不需要调用初始化函数
pool2d(X)
array([[[[10.]]]])
pool2d = nn.MaxPool2d(3)
pool2d(X)
tensor([[[[10.]]]])
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[3, 3])
pool2d(X)
<tf.Tensor: shape=(1, 1, 1, 1), dtype=float32, numpy=array([[[[10.]]]], dtype=float32)>
pool2d = nn.MaxPool2D(3, stride=3)
pool2d(X)
Tensor(shape=[1, 1, 1, 1], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
       [[[[10.]]]])

填充和步幅可以手动设定。

pool2d = nn.MaxPool2D(3, padding=1, strides=2)
pool2d(X)
array([[[[ 5.,  7.],
         [13., 15.]]]])

当然,我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口,并分别设定填充和步幅的高度和宽度。

pool2d = nn.MaxPool2D((2, 3), padding=(0, 1), strides=(2, 3))
pool2d(X)
array([[[[ 5.,  7.],
         [13., 15.]]]])
pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
tensor([[[[ 5.,  7.],
          [13., 15.]]]])

当然,我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口,并分别设定填充和步幅的高度和宽度。

pool2d = nn.MaxPool2d((2, 3), stride=(2, 3), padding=(0, 1))
pool2d(X)
tensor([[[[ 5.,  7.],
          [13., 15.]]]])
paddings = tf.constant([[0, 0], [1,0], [1,0], [0,0]])
X_padded = tf.pad(X, paddings, "CONSTANT")
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[3, 3], padding='valid',
                                   strides=2)
pool2d(X_padded)
<tf.Tensor: shape=(1, 2, 2, 1), dtype=float32, numpy=
array([[[[ 5.],
         [ 7.]],

        [[13.],
         [15.]]]], dtype=float32)>

当然,我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口,并分别设定填充和步幅的高度和宽度。

paddings = tf.constant([[0, 0], [0, 0], [1, 1], [0, 0]])
X_padded = tf.pad(X, paddings, "CONSTANT")
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[2, 3], padding='valid',
                                   strides=(2, 3))
pool2d(X_padded)
<tf.Tensor: shape=(1, 2, 2, 1), dtype=float32, numpy=
array([[[[ 5.],
         [ 7.]],

        [[13.],
         [15.]]]], dtype=float32)>
pool2d = nn.MaxPool2D(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
Tensor(shape=[1, 1, 2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
       [[[[5. , 7. ],
          [13., 15.]]]])

当然,我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口,并分别设定填充和步幅的高度和宽度。

pool2d = nn.MaxPool2D((2, 3), padding=(0, 1), stride=(2, 3))
pool2d(X)
Tensor(shape=[1, 1, 2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
       [[[[5. , 7. ],
          [13., 15.]]]])

6.5.3. 多个通道

在处理多通道输入数据时,汇聚层在每个输入通道上单独运算,而不是像卷积层一样在通道上对输入进行汇总。 这意味着汇聚层的输出通道数与输入通道数相同。 下面,我们将在通道维度上连结张量XX + 1,以构建具有2个通道的输入。

X = np.concatenate((X, X + 1), 1)
X
array([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.]],

        [[ 1.,  2.,  3.,  4.],
         [ 5.,  6.,  7.,  8.],
         [ 9., 10., 11., 12.],
         [13., 14., 15., 16.]]]])
X = torch.cat((X, X + 1), 1)
X
tensor([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
          [ 4.,  5.,  6.,  7.],
          [ 8.,  9., 10., 11.],
          [12., 13., 14., 15.]],

         [[ 1.,  2.,  3.,  4.],
          [ 5.,  6.,  7.,  8.],
          [ 9., 10., 11., 12.],
          [13., 14., 15., 16.]]]])

请注意,由于TensorFlow采用“通道最后”(channels-last)的语法, 我们需要沿输入的最后一个维度进行串联。

X = tf.concat([X, X + 1], 3)
X = paddle.concat((X, X + 1), 1)
X
Tensor(shape=[1, 2, 4, 4], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
       [[[[0. , 1. , 2. , 3. ],
          [4. , 5. , 6. , 7. ],
          [8. , 9. , 10., 11.],
          [12., 13., 14., 15.]],

         [[1. , 2. , 3. , 4. ],
          [5. , 6. , 7. , 8. ],
          [9. , 10., 11., 12.],
          [13., 14., 15., 16.]]]])

如下所示,汇聚后输出通道的数量仍然是2。

pool2d = nn.MaxPool2D(3, padding=1, strides=2)
pool2d(X)
array([[[[ 5.,  7.],
         [13., 15.]],

        [[ 6.,  8.],
         [14., 16.]]]])
pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
tensor([[[[ 5.,  7.],
          [13., 15.]],

         [[ 6.,  8.],
          [14., 16.]]]])
paddings = tf.constant([[0, 0], [1,0], [1,0], [0,0]])
X_padded = tf.pad(X, paddings, "CONSTANT")
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[3, 3], padding='valid',
                                   strides=2)
pool2d(X_padded)
<tf.Tensor: shape=(1, 2, 2, 2), dtype=float32, numpy=
array([[[[ 5.,  6.],
         [ 7.,  8.]],

        [[13., 14.],
         [15., 16.]]]], dtype=float32)>

请注意,上面的输出乍一看似乎有所不同,但MXNet和PyTorch的结果从数值上是相同的。 不同之处在于维度,垂直读取输出会产生与其他实现相同的输出。

pool2d = paddle.nn.MaxPool2D(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
Tensor(shape=[1, 2, 2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
       [[[[5. , 7. ],
          [13., 15.]],

         [[6. , 8. ],
          [14., 16.]]]])

6.5.4. 小结

  • 对于给定输入元素,最大汇聚层会输出该窗口内的最大值,平均汇聚层会输出该窗口内的平均值。

  • 汇聚层的主要优点之一是减轻卷积层对位置的过度敏感。

  • 我们可以指定汇聚层的填充和步幅。

  • 使用最大汇聚层以及大于1的步幅,可减少空间维度(如高度和宽度)。

  • 汇聚层的输出通道数与输入通道数相同。

6.5.5. 练习

  1. 尝试将平均汇聚层作为卷积层的特殊情况实现。

  2. 尝试将最大汇聚层作为卷积层的特殊情况实现。

  3. 假设汇聚层的输入大小为\(c\times h\times w\),则汇聚窗口的形状为\(p_h\times p_w\),填充为\((p_h, p_w)\),步幅为\((s_h, s_w)\)。这个汇聚层的计算成本是多少?

  4. 为什么最大汇聚层和平均汇聚层的工作方式不同?

  5. 我们是否需要最小汇聚层?可以用已知函数替换它吗?

  6. 除了平均汇聚层和最大汇聚层,是否有其它函数可以考虑(提示:回想一下softmax)?为什么它不流行?