10.3. 注意力评分函数
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10.2节 中,我们使用高斯核来对查询和键之间的关系建模。可以将 (10.2.6) 中的高斯核的指数部分视为 注意力评分函数(attention scoring function),简称 评分函数(scoring function),然后把这个函数的输出结果输入到 softmax 函数中进行运算。通过上述步骤,我们将得到与键对应的值的概率分布(即注意力权重)。最后,注意力汇聚的输出就是基于这些注意力权重的值的加权和。

从宏观来看,可以使用上述算法来实现 图10.1.3 中的注意力机制框架。:numref:fig_attention_output 说明了如何将注意力汇聚的输出计算成为值的加权和,其中 \(a\) 表示注意力评分函数。由于注意力权重是概率分布,因此加权和其本质上是加权平均值。

../_images/attention-output.svg

图10.3.1 计算注意力汇聚的输出为值的加权和。

用数学语言描述,假设有一个查询 \(\mathbf{q} \in \mathbb{R}^q\)\(m\) 个“键-值”对 \((\mathbf{k}_1, \mathbf{v}_1), \ldots, (\mathbf{k}_m, \mathbf{v}_m)\),其中 \(\mathbf{k}_i \in \mathbb{R}^k\)\(\mathbf{v}_i \in \mathbb{R}^v\)。注意力汇聚函数 \(f\) 就被表示成值的加权和:

(10.3.1)\[f(\mathbf{q}, (\mathbf{k}_1, \mathbf{v}_1), \ldots, (\mathbf{k}_m, \mathbf{v}_m)) = \sum_{i=1}^m \alpha(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i) \mathbf{v}_i \in \mathbb{R}^v,\]

其中查询 \(\mathbf{q}\) 和键 \(\mathbf{k}_i\) 的注意力权重(标量)是通过注意力评分函数 \(a\) 将两个向量映射成标量,再经过 softmax 运算得到的:

(10.3.2)\[\alpha(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i) = \mathrm{softmax}(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i)) = \frac{\exp(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i))}{\sum_{j=1}^m \exp(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_j))} \in \mathbb{R}.\]

正如我们所看到的,选择不同的注意力评分函数 \(a\) 会导致不同的注意力汇聚操作。在本节中,我们将介绍两个流行的评分函数,稍后将用他们来实现更复杂的注意力机制。

import math
from mxnet import np, npx
from mxnet.gluon import nn
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()
import math
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

10.3.1. 遮蔽softmax操作

正如上面提到的,softmax 运算用于输出一个概率分布作为注意力权重。在某些情况下,并非所有的值都应该被纳入到注意力汇聚中。例如,为了在 9.5节 中高效处理小批量数据集,某些文本序列被填充了没有意义的特殊词元。为了仅将有意义的词元作为值去获取注意力汇聚,可以指定一个有效序列长度(即词元的个数),以便在计算 softmax 时过滤掉超出指定范围的位置。通过这种方式,我们可以在下面的 masked_softmax 函数中实现这样的 遮蔽 softmax 操作(masked softmax operation),其中任何超出有效长度的位置都被遮蔽并置为0。

#@save
def masked_softmax(X, valid_lens):
    """通过在最后一个轴上遮蔽元素来执行 softmax 操作"""
    # `X`: 3D张量, `valid_lens`: 1D或2D 张量
    if valid_lens is None:
        return npx.softmax(X)
    else:
        shape = X.shape
        if valid_lens.ndim == 1:
            valid_lens = valid_lens.repeat(shape[1])
        else:
            valid_lens = valid_lens.reshape(-1)
        # 在最后的轴上,被遮蔽的元素使用一个非常大的负值替换,从而其 softmax (指数)输出为 0
        X = npx.sequence_mask(X.reshape(-1, shape[-1]), valid_lens, True,
                              value=-1e6, axis=1)
        return npx.softmax(X).reshape(shape)
#@save
def masked_softmax(X, valid_lens):
    """通过在最后一个轴上遮蔽元素来执行 softmax 操作"""
    # `X`: 3D张量, `valid_lens`: 1D或2D 张量
    if valid_lens is None:
        return nn.functional.softmax(X, dim=-1)
    else:
        shape = X.shape
        if valid_lens.dim() == 1:
            valid_lens = torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1])
        else:
            valid_lens = valid_lens.reshape(-1)
        # 在最后的轴上,被遮蔽的元素使用一个非常大的负值替换,从而其 softmax (指数)输出为 0
        X = d2l.sequence_mask(X.reshape(-1, shape[-1]), valid_lens,
                              value=-1e6)
        return nn.functional.softmax(X.reshape(shape), dim=-1)

为了演示此函数是如何工作的,考虑由两个 \(2 \times 4\) 矩阵表示的样本,这两个样本的有效长度分别为 \(2\)\(3\)。经过遮蔽 softmax 操作,超出有效长度的值都被遮蔽为0。

masked_softmax(np.random.uniform(size=(2, 2, 4)), np.array([2, 3]))
array([[[0.488994  , 0.511006  , 0.        , 0.        ],
        [0.4365484 , 0.56345165, 0.        , 0.        ]],

       [[0.288171  , 0.3519408 , 0.3598882 , 0.        ],
        [0.29034296, 0.25239873, 0.45725837, 0.        ]]])
masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([2, 3]))
tensor([[[0.5594, 0.4406, 0.0000, 0.0000],
         [0.6277, 0.3723, 0.0000, 0.0000]],

        [[0.3098, 0.3745, 0.3157, 0.0000],
         [0.3394, 0.3144, 0.3462, 0.0000]]])

同样,我们也可以使用二维张量为矩阵样本中的每一行指定有效长度。

masked_softmax(np.random.uniform(size=(2, 2, 4)),
               np.array([[1, 3], [2, 4]]))
array([[[1.        , 0.        , 0.        , 0.        ],
        [0.35848376, 0.3658879 , 0.27562833, 0.        ]],

       [[0.54370314, 0.45629686, 0.        , 0.        ],
        [0.19598778, 0.25580427, 0.19916739, 0.3490406 ]]])
masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([[1, 3], [2, 4]]))
tensor([[[1.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000],
         [0.2934, 0.3176, 0.3890, 0.0000]],

        [[0.4129, 0.5871, 0.0000, 0.0000],
         [0.2031, 0.2010, 0.2969, 0.2990]]])

10.3.2. 加性注意力

一般来说,当查询和键是不同长度的矢量时,可以使用加性注意力作为评分函数。给定查询 \(\mathbf{q} \in \mathbb{R}^q\) 和键 \(\mathbf{k} \in \mathbb{R}^k\)加性注意力(additive attention) 的评分函数为

(10.3.3)\[a(\mathbf q, \mathbf k) = \mathbf w_v^\top \text{tanh}(\mathbf W_q\mathbf q + \mathbf W_k \mathbf k) \in \mathbb{R},\]

其中可学习的参数是 \(\mathbf W_q\in\mathbb R^{h\times q}\)\(\mathbf W_k\in\mathbb R^{h\times k}\)\(\mathbf w_v\in\mathbb R^{h}\)。如 (10.3.3) 所示,将查询和键连接起来后输入到一个多层感知机(MLP)中,感知机包含一个隐藏层,其隐藏单元数是一个超参数 \(h\)。通过使用 \(\tanh\) 作为激活函数,并且禁用偏置项,我们将在下面实现加性注意力。

#@save
class AdditiveAttention(nn.Block):
    """加性注意力"""
    def __init__(self, num_hiddens, dropout, **kwargs):
        super(AdditiveAttention, self).__init__(**kwargs)
        # 使用 'flatten=False' 只转换最后一个轴,以便其他轴的形状保持不变
        self.W_k = nn.Dense(num_hiddens, use_bias=False, flatten=False)
        self.W_q = nn.Dense(num_hiddens, use_bias=False, flatten=False)
        self.w_v = nn.Dense(1, use_bias=False, flatten=False)
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

    def forward(self, queries, keys, values, valid_lens):
        queries, keys = self.W_q(queries), self.W_k(keys)
        # 在维度扩展后,
        # `queries` 的形状:(`batch_size`, 查询的个数, 1, `num_hidden`)
        # `key` 的形状:(`batch_size`, 1, “键-值”对的个数, `num_hiddens`)
        # 使用广播的方式进行求和
        features = np.expand_dims(queries, axis=2) + np.expand_dims(keys, axis=1)
        features = np.tanh(features)
        # `self.w_v` 仅有一个输出,因此从形状中移除最后那个维度。
        # `scores` 的形状:(`batch_size`, 查询的个数, “键-值”对的个数)
        scores = np.squeeze(self.w_v(features), axis=-1)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)
        # `values` 的形状:(`batch_size`, “键-值”对的个数, 值的维度)
        return npx.batch_dot(self.dropout(self.attention_weights), values)
#@save
class AdditiveAttention(nn.Module):
    """加性注意力"""
    def __init__(self, key_size, query_size, num_hiddens, dropout, **kwargs):
        super(AdditiveAttention, self).__init__(**kwargs)
        self.W_k = nn.Linear(key_size, num_hiddens, bias=False)
        self.W_q = nn.Linear(query_size, num_hiddens, bias=False)
        self.w_v = nn.Linear(num_hiddens, 1, bias=False)
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

    def forward(self, queries, keys, values, valid_lens):
        queries, keys = self.W_q(queries), self.W_k(keys)
        # 在维度扩展后,
        # `queries` 的形状:(`batch_size`, 查询的个数, 1, `num_hidden`)
        # `key` 的形状:(`batch_size`, 1, “键-值”对的个数, `num_hiddens`)
        # 使用广播方式进行求和
        features = queries.unsqueeze(2) + keys.unsqueeze(1)
        features = torch.tanh(features)
        # `self.w_v` 仅有一个输出,因此从形状中移除最后那个维度。
        # `scores` 的形状:(`batch_size`, 查询的个数, “键-值”对的个数)
        scores = self.w_v(features).squeeze(-1)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)
        # `values` 的形状:(`batch_size`, “键-值”对的个数, 值的维度)
        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)

让我们用一个小例子来演示上面的AdditiveAttention类,其中查询、键和值的形状为(批量大小、步数或词元序列长度、特征大小),实际输出为 \((2,1,20)\)\((2,10,2)\)\((2,10,4)\)。注意力汇聚输出的形状为(批量大小、查询的步数、值的维度)。

queries, keys = np.random.normal(0, 1, (2, 1, 20)), np.ones((2, 10, 2))
# `values` 的小批量数据集中,两个值矩阵是相同的
values = np.arange(40).reshape(1, 10, 4).repeat(2, axis=0)
valid_lens = np.array([2, 6])

attention = AdditiveAttention(num_hiddens=8, dropout=0.1)
attention.initialize()
attention(queries, keys, values, valid_lens)
array([[[ 2.      ,  3.      ,  4.      ,  5.      ]],

       [[10.      , 11.      , 12.000001, 13.      ]]])
queries, keys = torch.normal(0, 1, (2, 1, 20)), torch.ones((2, 10, 2))
# `values` 的小批量数据集中,两个值矩阵是相同的
values = torch.arange(40, dtype=torch.float32).reshape(1, 10, 4).repeat(
    2, 1, 1)
valid_lens = torch.tensor([2, 6])

attention = AdditiveAttention(key_size=2, query_size=20, num_hiddens=8,
                              dropout=0.1)
attention.eval()
attention(queries, keys, values, valid_lens)
tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],

        [[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]], grad_fn=<BmmBackward0>)

尽管加性注意力包含了可学习的参数,但由于本例子中每个键都是相同的,所以注意力权重是均匀的,由指定的有效长度决定。

d2l.show_heatmaps(attention.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)),
                  xlabel='Keys', ylabel='Queries')
../_images/output_attention-scoring-functions_2a8fdc_57_0.svg
d2l.show_heatmaps(attention.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)),
                  xlabel='Keys', ylabel='Queries')
../_images/output_attention-scoring-functions_2a8fdc_60_0.svg

10.3.3. 缩放点积注意力

使用点积可以得到计算效率更高的评分函数。但是点积操作要求查询和键具有相同的长度 \(d\)。假设查询和键的所有元素都是独立的随机变量,并且都满足均值为 \(0\) 和方差为 \(1\)。那么两个向量的点积的均值为 \(0\),方差为 \(d\)。为确保无论向量长度如何,点积的方差在不考虑向量长度的情况下仍然是 \(1\),则可以使用 缩放点积注意力(scaled dot-product attention) 评分函数:

(10.3.4)\[a(\mathbf q, \mathbf k) = \mathbf{q}^\top \mathbf{k} /\sqrt{d}\]

将点积除以 \(\sqrt{d}\)。在实践中,我们通常从小批量的角度来考虑提高效率,例如基于 \(n\) 个查询和 \(m\) 个键-值对计算注意力,其中查询和键的长度为 \(d\),值的长度为 \(v\)。查询 \(\mathbf Q\in\mathbb R^{n\times d}\)、键 \(\mathbf K\in\mathbb R^{m\times d}\) 和值 \(\mathbf V\in\mathbb R^{m\times v}\) 的缩放点积注意力是

(10.3.5)\[\mathrm{softmax}\left(\frac{\mathbf Q \mathbf K^\top }{\sqrt{d}}\right) \mathbf V \in \mathbb{R}^{n\times v}.\]

在下面的缩放点积注意力的实现中,我们使用了 dropout 进行模型正则化。

#@save
class DotProductAttention(nn.Block):
    """缩放点积注意力"""
    def __init__(self, dropout, **kwargs):
        super(DotProductAttention, self).__init__(**kwargs)
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

    # `queries` 的形状:(`batch_size`, 查询的个数, `d`)
    # `keys` 的形状:(`batch_size`, “键-值”对的个数, `d`)
    # `values` 的形状:(`batch_size`, “键-值”对的个数, 值的维度)
    # `valid_lens` 的形状: (`batch_size`,) 或者 (`batch_size`, 查询的个数)
    def forward(self, queries, keys, values, valid_lens=None):
        d = queries.shape[-1]
        # 设置 `transpose_b=True` 为了交换 `keys` 的最后两个维度
        scores = npx.batch_dot(queries, keys, transpose_b=True) / math.sqrt(d)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)
        return npx.batch_dot(self.dropout(self.attention_weights), values)
#@save
class DotProductAttention(nn.Module):
    """缩放点积注意力"""
    def __init__(self, dropout, **kwargs):
        super(DotProductAttention, self).__init__(**kwargs)
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

    # `queries` 的形状:(`batch_size`, 查询的个数, `d`)
    # `keys` 的形状:(`batch_size`, “键-值”对的个数, `d`)
    # `values` 的形状:(`batch_size`, “键-值”对的个数, 值的维度)
    # `valid_lens` 的形状: (`batch_size`,) 或者 (`batch_size`, 查询的个数)
    def forward(self, queries, keys, values, valid_lens=None):
        d = queries.shape[-1]
        # 设置 `transpose_b=True` 为了交换 `keys` 的最后两个维度
        scores = torch.bmm(queries, keys.transpose(1,2)) / math.sqrt(d)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)
        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)

为了演示上述的DotProductAttention类,我们使用了与先前加性注意力例子中相同的键、值和有效长度。对于点积操作,令查询的特征维度与键的特征维度大小相同。

queries = np.random.normal(0, 1, (2, 1, 2))
attention = DotProductAttention(dropout=0.5)
attention.initialize()
attention(queries, keys, values, valid_lens)
array([[[ 2.      ,  3.      ,  4.      ,  5.      ]],

       [[10.      , 11.      , 12.000001, 13.      ]]])
queries = torch.normal(0, 1, (2, 1, 2))
attention = DotProductAttention(dropout=0.5)
attention.eval()
attention(queries, keys, values, valid_lens)
tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],

        [[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]])

与加性注意力演示相同,由于键包含的是相同的元素,而这些元素无法通过任何查询进行区分,因此获得了均匀的注意力权重。

d2l.show_heatmaps(attention.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)),
                  xlabel='Keys', ylabel='Queries')
../_images/output_attention-scoring-functions_2a8fdc_84_0.svg
d2l.show_heatmaps(attention.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)),
                  xlabel='Keys', ylabel='Queries')
../_images/output_attention-scoring-functions_2a8fdc_87_0.svg

10.3.4. 小结

  • 可以将注意力汇聚的输出计算作为值的加权平均,选择不同的注意力评分函数会带来不同的注意力汇聚操作。

  • 当查询和键是不同长度的矢量时,可以使用可加性注意力评分函数。当它们的长度相同时,使用缩放的“点-积”注意力评分函数的计算效率更高。

10.3.5. 练习

  1. 修改小例子中的键,并且可视化注意力权重。可加性注意力和缩放的“点-积”注意力是否仍然产生相同的结果?为什么?

  2. 只使用矩阵乘法,您能否为具有不同矢量长度的查询和键设计新的评分函数?

  3. 当查询和键具有相同的矢量长度时,矢量求和作为评分函数是否比“点-积”更好?为什么?