2.4. 微积分
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在2500年前,古希腊人把一个多边形分成三角形,并把它们的面积相加,才找到计算多边形面积的方法。 为了求出曲线形状(比如圆)的面积,古希腊人在这样的形状上刻内接多边形。 如 图2.4.1所示,内接多边形的等长边越多,就越接近圆。 这个过程也被称为逼近法(method of exhaustion)。

../_images/polygon-circle.svg

图2.4.1 用逼近法求圆的面积

事实上,逼近法就是积分(integral calculus)的起源。 2000多年后,微积分的另一支,微分(differential calculus)被发明出来。 在微分学最重要的应用是优化问题,即考虑如何把事情做到最好。 正如在 2.3.10.1节中讨论的那样, 这种问题在深度学习中是无处不在的。

在深度学习中,我们“训练”模型,不断更新它们,使它们在看到越来越多的数据时变得越来越好。 通常情况下,变得更好意味着最小化一个损失函数(loss function), 即一个衡量“模型有多糟糕”这个问题的分数。 最终,我们真正关心的是生成一个模型,它能够在从未见过的数据上表现良好。 但“训练”模型只能将模型与我们实际能看到的数据相拟合。 因此,我们可以将拟合模型的任务分解为两个关键问题:

  • 优化(optimization):用模型拟合观测数据的过程;

  • 泛化(generalization):数学原理和实践者的智慧,能够指导我们生成出有效性超出用于训练的数据集本身的模型。

为了帮助读者在后面的章节中更好地理解优化问题和方法, 本节提供了一个非常简短的入门教程,帮助读者快速掌握深度学习中常用的微分知识。

2.4.1. 导数和微分

我们首先讨论导数的计算,这是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤。 在深度学习中,我们通常选择对于模型参数可微的损失函数。 简而言之,对于每个参数, 如果我们把这个参数增加减少一个无穷小的量,可以知道损失会以多快的速度增加或减少,

假设我们有一个函数\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\),其输入和输出都是标量。 如果\(f\)导数存在,这个极限被定义为

(2.4.1)\[f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.\]

如果\(f'(a)\)存在,则称\(f\)\(a\)处是可微(differentiable)的。 如果\(f\)在一个区间内的每个数上都是可微的,则此函数在此区间中是可微的。 我们可以将 (2.4.1)中的导数\(f'(x)\)解释为\(f(x)\)相对于\(x\)瞬时(instantaneous)变化率。 所谓的瞬时变化率是基于\(x\)中的变化\(h\),且\(h\)接近\(0\)

为了更好地解释导数,让我们做一个实验。 定义\(u=f(x)=3x^2-4x\)如下:

%matplotlib inline
from matplotlib_inline import backend_inline
from mxnet import np, npx
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x
%matplotlib inline
import numpy as np
from matplotlib_inline import backend_inline
from d2l import torch as d2l


def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x
%matplotlib inline
import numpy as np
from matplotlib_inline import backend_inline
from d2l import tensorflow as d2l


def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x
%matplotlib inline
import numpy as np
from matplotlib_inline import backend_inline
from d2l import paddle as d2l


def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x

通过令\(x=1\)并让\(h\)接近\(0\)(2.4.1)\(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)的数值结果接近\(2\)。 虽然这个实验不是一个数学证明,但稍后会看到,当\(x=1\)时,导数\(u'\)\(2\)

def numerical_lim(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h

h = 0.1
for i in range(5):
    print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
    h *= 0.1
h=0.10000, numerical limit=2.30000
h=0.01000, numerical limit=2.03000
h=0.00100, numerical limit=2.00300
h=0.00010, numerical limit=2.00030
h=0.00001, numerical limit=2.00003
def numerical_lim(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h

h = 0.1
for i in range(5):
    print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
    h *= 0.1
h=0.10000, numerical limit=2.30000
h=0.01000, numerical limit=2.03000
h=0.00100, numerical limit=2.00300
h=0.00010, numerical limit=2.00030
h=0.00001, numerical limit=2.00003
def numerical_lim(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h

h = 0.1
for i in range(5):
    print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
    h *= 0.1
h=0.10000, numerical limit=2.30000
h=0.01000, numerical limit=2.03000
h=0.00100, numerical limit=2.00300
h=0.00010, numerical limit=2.00030
h=0.00001, numerical limit=2.00003
def numerical_lim(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h

h = 0.1
for i in range(5):
    print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
    h *= 0.1
h=0.10000, numerical limit=2.30000
h=0.01000, numerical limit=2.03000
h=0.00100, numerical limit=2.00300
h=0.00010, numerical limit=2.00030
h=0.00001, numerical limit=2.00003

让我们熟悉一下导数的几个等价符号。 给定\(y=f(x)\),其中\(x\)\(y\)分别是函数\(f\)的自变量和因变量。以下表达式是等价的:

(2.4.2)\[f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} f(x) = Df(x) = D_x f(x),\]

其中符号\(\frac{d}{dx}\)\(D\)微分运算符,表示微分操作。 我们可以使用以下规则来对常见函数求微分:

  • \(DC = 0\)\(C\)是一个常数)

  • \(Dx^n = nx^{n-1}\)幂律(power rule),\(n\)是任意实数)

  • \(De^x = e^x\)

  • \(D\ln(x) = 1/x\)

为了微分一个由一些常见函数组成的函数,下面的一些法则方便使用。 假设函数\(f\)\(g\)都是可微的,\(C\)是一个常数,则:

常数相乘法则

(2.4.3)\[\frac{d}{dx} [Cf(x)] = C \frac{d}{dx} f(x),\]

加法法则

(2.4.4)\[\frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x),\]

乘法法则

(2.4.5)\[\frac{d}{dx} [f(x)g(x)] = f(x) \frac{d}{dx} [g(x)] + g(x) \frac{d}{dx} [f(x)],\]

除法法则

(2.4.6)\[\frac{d}{dx} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{g(x) \frac{d}{dx} [f(x)] - f(x) \frac{d}{dx} [g(x)]}{[g(x)]^2}.\]

现在我们可以应用上述几个法则来计算\(u'=f'(x)=3\frac{d}{dx}x^2-4\frac{d}{dx}x=6x-4\)。 令\(x=1\),我们有\(u'=2\):在这个实验中,数值结果接近\(2\), 这一点得到了在本节前面的实验的支持。 当\(x=1\)时,此导数也是曲线\(u=f(x)\)切线的斜率。

为了对导数的这种解释进行可视化,我们将使用matplotlib, 这是一个Python中流行的绘图库。 要配置matplotlib生成图形的属性,我们需要定义几个函数。 在下面,use_svg_display函数指定matplotlib软件包输出svg图表以获得更清晰的图像。

注意,注释#@save是一个特殊的标记,会将对应的函数、类或语句保存在d2l包中。 因此,以后无须重新定义就可以直接调用它们(例如,d2l.use_svg_display())。

def use_svg_display():  #@save
    """使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
    backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')

我们定义set_figsize函数来设置图表大小。 注意,这里可以直接使用d2l.plt,因为导入语句 from matplotlib import pyplot as plt已标记为保存到d2l包中。

def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):  #@save
    """设置matplotlib的图表大小"""
    use_svg_display()
    d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize

下面的set_axes函数用于设置由matplotlib生成图表的轴的属性。

#@save
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
    """设置matplotlib的轴"""
    axes.set_xlabel(xlabel)
    axes.set_ylabel(ylabel)
    axes.set_xscale(xscale)
    axes.set_yscale(yscale)
    axes.set_xlim(xlim)
    axes.set_ylim(ylim)
    if legend:
        axes.legend(legend)
    axes.grid()

通过这三个用于图形配置的函数,定义一个plot函数来简洁地绘制多条曲线, 因为我们需要在整个书中可视化许多曲线。

#@save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
    """绘制数据点"""
    if legend is None:
        legend = []

    set_figsize(figsize)
    axes = axes if axes else d2l.plt.gca()

    # 如果X有一个轴,输出True
    def has_one_axis(X):
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
                and not hasattr(X[0], "__len__"))

    if has_one_axis(X):
        X = [X]
    if Y is None:
        X, Y = [[]] * len(X), X
    elif has_one_axis(Y):
        Y = [Y]
    if len(X) != len(Y):
        X = X * len(Y)
    axes.cla()
    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
        if len(x):
            axes.plot(x, y, fmt)
        else:
            axes.plot(y, fmt)
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)

现在我们可以绘制函数\(u=f(x)\)及其在\(x=1\)处的切线\(y=2x-3\), 其中系数\(2\)是切线的斜率。

x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])
[07:06:28] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU
../_images/output_calculus_7e7694_41_1.svg
x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])
../_images/output_calculus_7e7694_44_0.svg
x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])
../_images/output_calculus_7e7694_47_0.svg
x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])
../_images/output_calculus_7e7694_50_0.svg

2.4.2. 偏导数

到目前为止,我们只讨论了仅含一个变量的函数的微分。 在深度学习中,函数通常依赖于许多变量。 因此,我们需要将微分的思想推广到多元函数(multivariate function)上。

\(y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\)是一个具有\(n\)个变量的函数。 \(y\)关于第\(i\)个参数\(x_i\)偏导数(partial derivative)为:

(2.4.7)\[\frac{\partial y}{\partial x_i} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_i+h, x_{i+1}, \ldots, x_n) - f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}{h}.\]

为了计算\(\frac{\partial y}{\partial x_i}\), 我们可以简单地将\(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n\)看作常数, 并计算\(y\)关于\(x_i\)的导数。 对于偏导数的表示,以下是等价的:

(2.4.8)\[\frac{\partial y}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} = f_{x_i} = f_i = D_i f = D_{x_i} f.\]

2.4.3. 梯度

我们可以连结一个多元函数对其所有变量的偏导数,以得到该函数的梯度(gradient)向量。 具体而言,设函数\(f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}\)的输入是 一个\(n\)维向量\(\mathbf{x}=[x_1,x_2,\ldots,x_n]^\top\),并且输出是一个标量。 函数\(f(\mathbf{x})\)相对于\(\mathbf{x}\)的梯度是一个包含\(n\)个偏导数的向量:

(2.4.9)\[\nabla_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x}) = \bigg[\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_n}\bigg]^\top,\]

其中\(\nabla_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x})\)通常在没有歧义时被\(\nabla f(\mathbf{x})\)取代。

假设\(\mathbf{x}\)\(n\)维向量,在微分多元函数时经常使用以下规则:

  • 对于所有\(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\),都有\(\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{A}^\top\)

  • 对于所有\(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times m}\),都有\(\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} = \mathbf{A}\)

  • 对于所有\(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}\),都有\(\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} = (\mathbf{A} + \mathbf{A}^\top)\mathbf{x}\)

  • \(\nabla_{\mathbf{x}} \|\mathbf{x} \|^2 = \nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{x} = 2\mathbf{x}\)

同样,对于任何矩阵\(\mathbf{X}\),都有\(\nabla_{\mathbf{X}} \|\mathbf{X} \|_F^2 = 2\mathbf{X}\)。 正如我们之后将看到的,梯度对于设计深度学习中的优化算法有很大用处。

2.4.4. 链式法则

然而,上面方法可能很难找到梯度。 这是因为在深度学习中,多元函数通常是复合(composite)的, 所以难以应用上述任何规则来微分这些函数。 幸运的是,链式法则可以被用来微分复合函数。

让我们先考虑单变量函数。假设函数\(y=f(u)\)\(u=g(x)\)都是可微的,根据链式法则:

(2.4.10)\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}.\]

现在考虑一个更一般的场景,即函数具有任意数量的变量的情况。 假设可微分函数\(y\)有变量\(u_1, u_2, \ldots, u_m\),其中每个可微分函数\(u_i\)都有变量\(x_1, x_2, \ldots, x_n\)。 注意,\(y\)\(x_1, x_2, \ldots, x_n\)的函数。 对于任意\(i = 1, 2, \ldots, n\),链式法则给出:

(2.4.11)\[\frac{\partial y}{\partial x_i} = \frac{\partial y}{\partial u_1} \frac{\partial u_1}{\partial x_i} + \frac{\partial y}{\partial u_2} \frac{\partial u_2}{\partial x_i} + \cdots + \frac{\partial y}{\partial u_m} \frac{\partial u_m}{\partial x_i}\]

2.4.5. 小结

  • 微分和积分是微积分的两个分支,前者可以应用于深度学习中的优化问题。

  • 导数可以被解释为函数相对于其变量的瞬时变化率,它也是函数曲线的切线的斜率。

  • 梯度是一个向量,其分量是多变量函数相对于其所有变量的偏导数。

  • 链式法则可以用来微分复合函数。

2.4.6. 练习

  1. 绘制函数\(y = f(x) = x^3 - \frac{1}{x}\)和其在\(x = 1\)处切线的图像。

  2. 求函数\(f(\mathbf{x}) = 3x_1^2 + 5e^{x_2}\)的梯度。

  3. 函数\(f(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|_2\)的梯度是什么?

  4. 尝试写出函数\(u = f(x, y, z)\),其中\(x = x(a, b)\)\(y = y(a, b)\)\(z = z(a, b)\)的链式法则。