11.7. AdaGrad算法
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我们从有关特征学习中并不常见的问题入手。

11.7.1. 稀疏特征和学习率

假设我们正在训练一个语言模型。 为了获得良好的准确性,我们大多希望在训练的过程中降低学习率,速度通常为\(\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})\)或更低。 现在讨论关于稀疏特征(即只在偶尔出现的特征)的模型训练,这对自然语言来说很常见。 例如,我们看到“预先条件”这个词比“学习”这个词的可能性要小得多。 但是,它在计算广告学和个性化协同过滤等其他领域也很常见。

只有在这些不常见的特征出现时,与其相关的参数才会得到有意义的更新。 鉴于学习率下降,我们可能最终会面临这样的情况:常见特征的参数相当迅速地收敛到最佳值,而对于不常见的特征,我们仍缺乏足够的观测以确定其最佳值。 换句话说,学习率要么对于常见特征而言降低太慢,要么对于不常见特征而言降低太快。

解决此问题的一个方法是记录我们看到特定特征的次数,然后将其用作调整学习率。 即我们可以使用大小为\(\eta_i = \frac{\eta_0}{\sqrt{s(i, t) + c}}\)的学习率,而不是\(\eta = \frac{\eta_0}{\sqrt{t + c}}\)。 在这里\(s(i, t)\)计下了我们截至\(t\)时观察到功能\(i\)的次数。 这其实很容易实施且不产生额外损耗。

AdaGrad算法 [Duchi et al., 2011]通过将粗略的计数器\(s(i, t)\)替换为先前观察所得梯度的平方之和来解决这个问题。 它使用\(s(i, t+1) = s(i, t) + \left(\partial_i f(\mathbf{x})\right)^2\)来调整学习率。 这有两个好处:首先,我们不再需要决定梯度何时算足够大。 其次,它会随梯度的大小自动变化。通常对应于较大梯度的坐标会显著缩小,而其他梯度较小的坐标则会得到更平滑的处理。 在实际应用中,它促成了计算广告学及其相关问题中非常有效的优化程序。 但是,它遮盖了AdaGrad固有的一些额外优势,这些优势在预处理环境中很容易被理解。

11.7.2. 预处理

凸优化问题有助于分析算法的特点。 毕竟对于大多数非凸问题来说,获得有意义的理论保证很难,但是直觉和洞察往往会延续。 让我们来看看最小化\(f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^\top \mathbf{Q} \mathbf{x} + \mathbf{c}^\top \mathbf{x} + b\)这一问题。

正如在 11.6节中那样,我们可以根据其特征分解\(\mathbf{Q} = \mathbf{U}^\top \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{U}\)重写这个问题,来得到一个简化得多的问题,使每个坐标都可以单独解出:

(11.7.1)\[f(\mathbf{x}) = \bar{f}(\bar{\mathbf{x}}) = \frac{1}{2} \bar{\mathbf{x}}^\top \boldsymbol{\Lambda} \bar{\mathbf{x}} + \bar{\mathbf{c}}^\top \bar{\mathbf{x}} + b.\]

在这里我们使用了\(\mathbf{x} = \mathbf{U} \mathbf{x}\),且因此\(\mathbf{c} = \mathbf{U} \mathbf{c}\)。 修改后优化器为\(\bar{\mathbf{x}} = -\boldsymbol{\Lambda}^{-1} \bar{\mathbf{c}}\)且最小值为\(-\frac{1}{2} \bar{\mathbf{c}}^\top \boldsymbol{\Lambda}^{-1} \bar{\mathbf{c}} + b\)。 这样更容易计算,因为\(\boldsymbol{\Lambda}\)是一个包含\(\mathbf{Q}\)特征值的对角矩阵。

如果稍微扰动\(\mathbf{c}\),我们会期望在\(f\)的最小化器中只产生微小的变化。 遗憾的是,情况并非如此。 虽然\(\mathbf{c}\)的微小变化导致了\(\bar{\mathbf{c}}\)同样的微小变化,但\(f\)的(以及\(\bar{f}\)的)最小化器并非如此。 每当特征值\(\boldsymbol{\Lambda}_i\)很大时,我们只会看到\(\bar{x}_i\)\(\bar{f}\)的最小值发声微小变化。 相反,对于小的\(\boldsymbol{\Lambda}_i\)来说,\(\bar{x}_i\)的变化可能是剧烈的。 最大和最小的特征值之比称为优化问题的条件数(condition number)。

(11.7.2)\[\kappa = \frac{\boldsymbol{\Lambda}_1}{\boldsymbol{\Lambda}_d}.\]

如果条件编号\(\kappa\)很大,准确解决优化问题就会很难。 我们需要确保在获取大量动态的特征值范围时足够谨慎:我们不能简单地通过扭曲空间来“修复”这个问题,从而使所有特征值都是\(1\)? 理论上这很容易:我们只需要\(\mathbf{Q}\)的特征值和特征向量即可将问题从\(\mathbf{x}\)整理到\(\mathbf{z} := \boldsymbol{\Lambda}^{\frac{1}{2}} \mathbf{U} \mathbf{x}\)中的一个。 在新的坐标系中,\(\mathbf{x}^\top \mathbf{Q} \mathbf{x}\)可以被简化为\(\|\mathbf{z}\|^2\)。 可惜,这是一个相当不切实际的想法。 一般而言,计算特征值和特征向量要比解决实际问题“贵”得多。

虽然准确计算特征值可能会很昂贵,但即便只是大致猜测并计算它们,也可能已经比不做任何事情好得多。 特别是,我们可以使用\(\mathbf{Q}\)的对角线条目并相应地重新缩放它。 这比计算特征值开销小的多。

(11.7.3)\[\tilde{\mathbf{Q}} = \mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{Q}) \mathbf{Q} \mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{Q}).\]

在这种情况下,我们得到了\(\tilde{\mathbf{Q}}_{ij} = \mathbf{Q}_{ij} / \sqrt{\mathbf{Q}_{ii} \mathbf{Q}_{jj}}\),特别注意对于所有\(i\)\(\tilde{\mathbf{Q}}_{ii} = 1\)。 在大多数情况下,这大大简化了条件数。 例如我们之前讨论的案例,它将完全消除眼下的问题,因为问题是轴对齐的。

遗憾的是,我们还面临另一个问题:在深度学习中,我们通常情况甚至无法计算目标函数的二阶导数:对于\(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d\),即使只在小批量上,二阶导数可能也需要\(\mathcal{O}(d^2)\)空间来计算,导致几乎不可行。 AdaGrad算法巧妙的思路是,使用一个代理来表示黑塞矩阵(Hessian)的对角线,既相对易于计算又高效。

为了了解它是如何生效的,让我们来看看\(\bar{f}(\bar{\mathbf{x}})\)。 我们有

(11.7.4)\[\partial_{\bar{\mathbf{x}}} \bar{f}(\bar{\mathbf{x}}) = \boldsymbol{\Lambda} \bar{\mathbf{x}} + \bar{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\Lambda} \left(\bar{\mathbf{x}} - \bar{\mathbf{x}}_0\right),\]

其中\(\bar{\mathbf{x}}_0\)\(\bar{f}\)的优化器。 因此,梯度的大小取决于\(\boldsymbol{\Lambda}\)和与最佳值的差值。 如果\(\bar{\mathbf{x}} - \bar{\mathbf{x}}_0\)没有改变,那这就是我们所求的。 毕竟在这种情况下,梯度\(\partial_{\bar{\mathbf{x}}} \bar{f}(\bar{\mathbf{x}})\)的大小就足够了。 由于AdaGrad算法是一种随机梯度下降算法,所以即使是在最佳值中,我们也会看到具有非零方差的梯度。 因此,我们可以放心地使用梯度的方差作为黑塞矩阵比例的廉价替代。 详尽的分析(要花几页解释)超出了本节的范围,请读者参考 [Duchi et al., 2011]

11.7.3. 算法

让我们接着上面正式开始讨论。 我们使用变量\(\mathbf{s}_t\)来累加过去的梯度方差,如下所示:

(11.7.5)\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{g}_t & = \partial_{\mathbf{w}} l(y_t, f(\mathbf{x}_t, \mathbf{w})), \\ \mathbf{s}_t & = \mathbf{s}_{t-1} + \mathbf{g}_t^2, \\ \mathbf{w}_t & = \mathbf{w}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\mathbf{s}_t + \epsilon}} \cdot \mathbf{g}_t. \end{aligned}\end{split}\]

在这里,操作是按照坐标顺序应用。 也就是说,\(\mathbf{v}^2\)有条目\(v_i^2\)。 同样,\(\frac{1}{\sqrt{v}}\)有条目\(\frac{1}{\sqrt{v_i}}\), 并且\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\)有条目\(u_i v_i\)。 与之前一样,\(\eta\)是学习率,\(\epsilon\)是一个为维持数值稳定性而添加的常数,用来确保我们不会除以\(0\)。 最后,我们初始化\(\mathbf{s}_0 = \mathbf{0}\)

就像在动量法中我们需要跟踪一个辅助变量一样,在AdaGrad算法中,我们允许每个坐标有单独的学习率。 与SGD算法相比,这并没有明显增加AdaGrad的计算代价,因为主要计算用在\(l(y_t, f(\mathbf{x}_t, \mathbf{w}))\)及其导数。

请注意,在\(\mathbf{s}_t\)中累加平方梯度意味着\(\mathbf{s}_t\)基本上以线性速率增长(由于梯度从最初开始衰减,实际上比线性慢一些)。 这产生了一个学习率\(\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})\),但是在单个坐标的层面上进行了调整。 对于凸问题,这完全足够了。 然而,在深度学习中,我们可能希望更慢地降低学习率。 这引出了许多AdaGrad算法的变体,我们将在后续章节中讨论它们。 眼下让我们先看看它在二次凸问题中的表现如何。 我们仍然同一函数为例:

(11.7.6)\[f(\mathbf{x}) = 0.1 x_1^2 + 2 x_2^2.\]

我们将使用与之前相同的学习率来实现AdaGrad算法,即\(\eta = 0.4\)。 可以看到,自变量的迭代轨迹较平滑。 但由于\(\boldsymbol{s}_t\)的累加效果使学习率不断衰减,自变量在迭代后期的移动幅度较小。

%matplotlib inline
import math
from mxnet import np, npx
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

def adagrad_2d(x1, x2, s1, s2):
    eps = 1e-6
    g1, g2 = 0.2 * x1, 4 * x2
    s1 += g1 ** 2
    s2 += g2 ** 2
    x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
    x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
    return x1, x2, s1, s2

def f_2d(x1, x2):
    return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2

eta = 0.4
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
epoch 20, x1: -2.382563, x2: -0.158591
../_images/output_adagrad_2fb0ed_3_1.svg
%matplotlib inline
import math
import torch
from d2l import torch as d2l

def adagrad_2d(x1, x2, s1, s2):
    eps = 1e-6
    g1, g2 = 0.2 * x1, 4 * x2
    s1 += g1 ** 2
    s2 += g2 ** 2
    x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
    x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
    return x1, x2, s1, s2

def f_2d(x1, x2):
    return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2

eta = 0.4
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
epoch 20, x1: -2.382563, x2: -0.158591
../_images/output_adagrad_2fb0ed_6_1.svg
%matplotlib inline
import math
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l

def adagrad_2d(x1, x2, s1, s2):
    eps = 1e-6
    g1, g2 = 0.2 * x1, 4 * x2
    s1 += g1 ** 2
    s2 += g2 ** 2
    x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
    x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
    return x1, x2, s1, s2

def f_2d(x1, x2):
    return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2

eta = 0.4
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
epoch 20, x1: -2.382563, x2: -0.158591
../_images/output_adagrad_2fb0ed_9_1.svg

我们将学习率提高到\(2\),可以看到更好的表现。 这已经表明,即使在无噪声的情况下,学习率的降低可能相当剧烈,我们需要确保参数能够适当地收敛。

eta = 2
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
epoch 20, x1: -0.002295, x2: -0.000000
../_images/output_adagrad_2fb0ed_15_1.svg
eta = 2
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
epoch 20, x1: -0.002295, x2: -0.000000
../_images/output_adagrad_2fb0ed_18_1.svg
eta = 2
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
epoch 20, x1: -0.002295, x2: -0.000000
../_images/output_adagrad_2fb0ed_21_1.svg

11.7.4. 从零开始实现

同动量法一样,AdaGrad算法需要对每个自变量维护同它一样形状的状态变量。

def init_adagrad_states(feature_dim):
    s_w = np.zeros((feature_dim, 1))
    s_b = np.zeros(1)
    return (s_w, s_b)

def adagrad(params, states, hyperparams):
    eps = 1e-6
    for p, s in zip(params, states):
        s[:] += np.square(p.grad)
        p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / np.sqrt(s + eps)
def init_adagrad_states(feature_dim):
    s_w = torch.zeros((feature_dim, 1))
    s_b = torch.zeros(1)
    return (s_w, s_b)

def adagrad(params, states, hyperparams):
    eps = 1e-6
    for p, s in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            s[:] += torch.square(p.grad)
            p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / torch.sqrt(s + eps)
        p.grad.data.zero_()
def init_adagrad_states(feature_dim):
    s_w = tf.Variable(tf.zeros((feature_dim, 1)))
    s_b = tf.Variable(tf.zeros(1))
    return (s_w, s_b)

def adagrad(params, grads, states, hyperparams):
    eps = 1e-6
    for p, s, g in zip(params, states, grads):
        s[:].assign(s + tf.math.square(g))
        p[:].assign(p - hyperparams['lr'] * g / tf.math.sqrt(s + eps))

11.5节一节中的实验相比,这里使用更大的学习率来训练模型。

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adagrad, init_adagrad_states(feature_dim),
               {'lr': 0.1}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.244, 0.117 sec/epoch
../_images/output_adagrad_2fb0ed_39_1.svg
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adagrad, init_adagrad_states(feature_dim),
               {'lr': 0.1}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.243, 0.013 sec/epoch
../_images/output_adagrad_2fb0ed_42_1.svg
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adagrad, init_adagrad_states(feature_dim),
               {'lr': 0.1}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.243, 0.070 sec/epoch
../_images/output_adagrad_2fb0ed_45_1.svg

11.7.5. 简洁实现

我们可直接使用深度学习框架中提供的AdaGrad算法来训练模型。

d2l.train_concise_ch11('adagrad', {'learning_rate': 0.1}, data_iter)
loss: 0.244, 0.124 sec/epoch
../_images/output_adagrad_2fb0ed_51_1.svg
trainer = torch.optim.Adagrad
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.1}, data_iter)
loss: 0.242, 0.012 sec/epoch
../_images/output_adagrad_2fb0ed_54_1.svg
trainer = tf.keras.optimizers.Adagrad
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate' : 0.1}, data_iter)
loss: 0.243, 0.073 sec/epoch
../_images/output_adagrad_2fb0ed_57_1.svg

11.7.6. 小结

  • AdaGrad算法会在单个坐标层面动态降低学习率。

  • AdaGrad算法利用梯度的大小作为调整进度速率的手段:用较小的学习率来补偿带有较大梯度的坐标。

  • 在深度学习问题中,由于内存和计算限制,计算准确的二阶导数通常是不可行的。梯度可以作为一个有效的代理。

  • 如果优化问题的结构相当不均匀,AdaGrad算法可以帮助缓解扭曲。

  • AdaGrad算法对于稀疏特征特别有效,在此情况下由于不常出现的问题,学习率需要更慢地降低。

  • 在深度学习问题上,AdaGrad算法有时在降低学习率方面可能过于剧烈。我们将在 11.10节一节讨论缓解这种情况的策略。

11.7.7. 练习

  1. 证明对于正交矩阵\(\mathbf{U}\)和向量\(\mathbf{c}\),以下等式成立:\(\|\mathbf{c} - \mathbf{\delta}\|_2 = \|\mathbf{U} \mathbf{c} - \mathbf{U} \mathbf{\delta}\|_2\)。为什么这意味着在变量的正交变化之后,扰动的程度不会改变?

  2. 尝试对函数\(f(\mathbf{x}) = 0.1 x_1^2 + 2 x_2^2\)、以及它旋转45度后的函数即\(f(\mathbf{x}) = 0.1 (x_1 + x_2)^2 + 2 (x_1 - x_2)^2\)使用AdaGrad算法。它的表现会不同吗?

  3. 证明格什戈林圆盘定理,其中提到,矩阵\(\mathbf{M}\)的特征值\(\lambda_i\)在至少一个\(j\)的选项中满足\(|\lambda_i - \mathbf{M}_{jj}| \leq \sum_{k \neq j} |\mathbf{M}_{jk}|\)的要求。

  4. 关于对角线预处理矩阵\(\mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{M}) \mathbf{M} \mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{M})\)的特征值,格什戈林的定理告诉了我们什么?

  5. 尝试对适当的深度网络使用AdaGrad算法,例如,当应用于时尚MNIST时,使用 6.6节

  6. 你要如何修改AdaGrad算法,才能使其在学习率方面的衰减不那么激进?