6.3. 填充和步幅
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在前面的例子 图6.2.1 中,输入的高度和宽度都为\(3\),卷积核的高度和宽度都为 \(2\) ,生成的输出表征的维数为 \(2\times2\)。 正如我们在 6.2节 中所概括的那样,假设输入形状为 \(n_h\times n_w\),卷积核形状为 \(k_h\times k_w\),那么输出形状将是 \((n_h-k_h+1) \times (n_w-k_w+1)\)。 因此,卷积的输出形状取决于输入形状和卷积核的形状。

还有什么因素会影响输出的大小呢?本节我们将介绍 填充(padding)和 步幅 (stride)。假设以下情景: 有时,在应用了连续的卷积之后,我们最终得到的输出远小于输入大小。这是由于卷积核的宽度和高度通常大于 \(1\) 所导致的。比如,一个 \(240 \times 240\) 像素的图像,经过 \(10\)\(5 \times 5\) 的卷积后,将减少到 \(200 \times 200\) 像素。如此一来,原始图像的边界丢失了许多有用信息。 而填充 是解决此问题最有效的方法。 有时,我们可能希望大幅降低图像的宽度和高度。例如,如果我们发现原始的输入分辨率十分冗余。 步幅则可以在这类情况下提供帮助。

6.3.1. 填充

如上所述,在应用多层卷积时,我们常常丢失边缘像素。 由于我们通常使用小卷积核,因此对于任何单个卷积,我们可能只会丢失几个像素。 但随着我们应用许多连续卷积层,累积丢失的像素数就多了。 解决这个问题的简单方法即为填充(padding):在输入图像的边界填充元素(通常填充元素是 \(0\) )。 例如,在 图6.3.1 中,我们将 \(3 \times 3\) 输入填充到 \(5 \times 5\),那么它的输出就增加为 \(4 \times 4\)。阴影部分是第一个输出元素以及用于输出计算的输入和核张量元素: \(0\times0+0\times1+0\times2+0\times3=0\)

../_images/conv-pad.svg

图6.3.1 带填充的二维互相关。

通常,如果我们添加 \(p_h\) 行填充(大约一半在顶部,一半在底部)和 \(p_w\) 列填充(左侧大约一半,右侧一半),则输出形状将为

(6.3.1)\[(n_h-k_h+p_h+1)\times(n_w-k_w+p_w+1)。\]

这意味着输出的高度和宽度将分别增加 \(p_h\)\(p_w\)

在许多情况下,我们需要设置 \(p_h=k_h-1\)\(p_w=k_w-1\),使输入和输出具有相同的高度和宽度。 这样可以在构建网络时更容易地预测每个图层的输出形状。假设 \(k_h\) 是奇数,我们将在高度的两侧填充 \(p_h/2\) 行。 如果 \(k_h\) 是偶数,则一种可能性是在输入顶部填充 \(\lceil p_h/2\rceil\) 行,在底部填充 \(\lfloor p_h/2\rfloor\) 行。同理,我们填充宽度的两侧。

卷积神经网络中卷积核的高度和宽度通常为奇数,例如 1、3、5 或 7。 选择奇数的好处是,保持空间维度的同时,我们可以在顶部和底部填充相同数量的行,在左侧和右侧填充相同数量的列。

此外,使用奇数核和填充也提供了书写上的便利。对于任何二维张量 X,当满足: 1. 内核的大小是奇数; 2. 所有边的填充行数和列数相同; 3. 输出与输入具有相同高度和宽度 则可以得出:输出 Y[i, j] 是通过以输入 X[i, j] 为中心,与卷积核进行互相关计算得到的。

比如,在下面的例子中,我们创建一个高度和宽度为3的二维卷积层,并在所有侧边填充1个像素。给定高度和宽度为8的输入,则输出的高度和宽度也是8。

from mxnet import np, npx
from mxnet.gluon import nn

npx.set_np()

# 为了方便起见,我们定义了一个计算卷积层的函数。
# 此函数初始化卷积层权重,并对输入和输出提高和缩减相应的维数
def comp_conv2d(conv2d, X):
    conv2d.initialize()
    # 这里的(1,1)表示批量大小和通道数都是1
    X = X.reshape((1, 1) + X.shape)
    Y = conv2d(X)
    # 省略前两个维度:批量大小和通道
    return Y.reshape(Y.shape[2:])

# 请注意,这里每边都填充了1行或1列,因此总共添加了2行或2列
conv2d = nn.Conv2D(1, kernel_size=3, padding=1)
X = np.random.uniform(size=(8, 8))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
(8, 8)
import torch
from torch import nn


# 为了方便起见,我们定义了一个计算卷积层的函数。
# 此函数初始化卷积层权重,并对输入和输出提高和缩减相应的维数
def comp_conv2d(conv2d, X):
    # 这里的(1,1)表示批量大小和通道数都是1
    X = X.reshape((1, 1) + X.shape)
    Y = conv2d(X)
    # 省略前两个维度:批量大小和通道
    return Y.reshape(Y.shape[2:])

# 请注意,这里每边都填充了1行或1列,因此总共添加了2行或2列
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1)
X = torch.rand(size=(8, 8))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
torch.Size([8, 8])
import tensorflow as tf


# 为了方便起见,我们定义了一个计算卷积层的函数。
# 此函数初始化卷积层权重,并对输入和输出提高和缩减相应的维数
def comp_conv2d(conv2d, X):
    # 这里的(1,1)表示批量大小和通道数都是1
    X = tf.reshape(X, (1, ) + X.shape + (1, ))
    Y = conv2d(X)
    # 省略前两个维度:批量大小和通道
    return tf.reshape(Y, Y.shape[1:3])

# 请注意,这里每边都填充了1行或1列,因此总共添加了2行或2列
conv2d = tf.keras.layers.Conv2D(1, kernel_size=3, padding='same')
X = tf.random.uniform(shape=(8, 8))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
TensorShape([8, 8])

当卷积内核的高度和宽度不同时,我们可以填充不同的高度和宽度,使输出和输入具有相同的高度和宽度。在如下示例中,我们使用高度为5,宽度为3的卷积核,高度和宽度两边的填充分别为2和1。

conv2d = nn.Conv2D(1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
(8, 8)
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
torch.Size([8, 8])
conv2d = tf.keras.layers.Conv2D(1, kernel_size=(5, 3), padding='valid')
comp_conv2d(conv2d, X).shape
TensorShape([4, 6])

6.3.2. 步幅

在计算互相关时,卷积窗口从输入张量的左上角开始,向下和向右滑动。 在前面的例子中,我们默认每次滑动一个元素。 但是,有时候为了高效计算或是缩减采样次数,卷积窗口可以跳过中间位置,每次滑动多个元素。

我们将每次滑动元素的数量称为 步幅 (stride)。到目前为止,我们只使用过高度或宽度为 \(1\) 的步幅,那么如何使用较大的步幅呢? 图6.3.2 是垂直步幅为 \(3\),水平步幅为 \(2\) 的二维互相关运算。 着色部分是输出元素以及用于输出计算的输入和内核张量元素:\(0\times0+0\times1+1\times2+2\times3=8\)\(0\times0+6\times1+0\times2+0\times3=6\)

可以看到,为了计算输出中第一列的第二个元素和第一行的第二个元素,卷积窗口分别向下滑动三行和向右滑动两列。但是,当卷积窗口继续向右滑动两列时,没有输出,因为输入元素无法填充窗口(除非我们添加另一列填充)。

../_images/conv-stride.svg

图6.3.2 垂直步幅为 \(3\),水平步幅为 \(2\) 的二维互相关运算。

通常,当垂直步幅为 \(s_h\) 、水平步幅为 \(s_w\) 时,输出形状为

(6.3.2)\[\lfloor(n_h-k_h+p_h+s_h)/s_h\rfloor \times \lfloor(n_w-k_w+p_w+s_w)/s_w\rfloor.\]

如果我们设置了 \(p_h=k_h-1\)\(p_w=k_w-1\),则输出形状将简化为 \(\lfloor(n_h+s_h-1)/s_h\rfloor \times \lfloor(n_w+s_w-1)/s_w\rfloor\)。 更进一步,如果输入的高度和宽度可以被垂直和水平步幅整除,则输出形状将为 \((n_h/s_h) \times (n_w/s_w)\)

下面,我们将高度和宽度的步幅设置为2,从而将输入的高度和宽度减半。

conv2d = nn.Conv2D(1, kernel_size=3, padding=1, strides=2)
comp_conv2d(conv2d, X).shape
(4, 4)
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
comp_conv2d(conv2d, X).shape
torch.Size([4, 4])
conv2d = tf.keras.layers.Conv2D(1, kernel_size=3, padding='same', strides=2)
comp_conv2d(conv2d, X).shape
TensorShape([4, 4])

接下来,看一个稍微复杂的例子。

conv2d = nn.Conv2D(1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), strides=(3, 4))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
(2, 2)
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
torch.Size([2, 2])
conv2d = tf.keras.layers.Conv2D(1, kernel_size=(3,5), padding='valid',
                                strides=(3, 4))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
TensorShape([2, 1])

为了简洁起见,当输入高度和宽度两侧的填充数量分别为 \(p_h\)\(p_w\) 时,我们称之为填充 \((p_h, p_w)\)。当 \(p_h = p_w = p\) 时,填充是 \(p\)。同理,当高度和宽度上的步幅分别为 \(s_h\)\(s_w\) 时,我们称之为步幅 \((s_h, s_w)\)。当时的步幅为 \(s_h = s_w = s\) 时,步幅为 \(s\)。默认情况下,填充为 0,步幅为 1。在实践中,我们很少使用不一致的步幅或填充,也就是说,我们通常有 \(p_h = p_w\)\(s_h = s_w\)

6.3.3. 小结

  • 填充可以增加输出的高度和宽度。这常用来使输出与输入具有相同的高和宽。

  • 步幅可以减小输出的高和宽,例如输出的高和宽仅为输入的高和宽的 \(1/n\)\(n\) 是一个大于 \(1\) 的整数)。

  • 填充和步幅可用于有效地调整数据的维度。

6.3.4. 练习

  1. 对于本节中的最后一个示例,计算其输出形状,以查看它是否与实验结果一致。

  2. 在本节中的实验中,试一试其他填充和步幅组合。

  3. 对于音频信号,步幅 \(2\) 说明什么?

  4. 步幅大于 \(1\) 的计算优势是什么?