3.7. softmax回归的简洁实现
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3.3节 中,我们可以发现通过深度学习框架的高级API能够使实现

线性回归变得更加容易。同样地,通过深度学习框架的高级API也能更方便地实现分类模型。让我们继续使用Fashion-MNIST数据集,并保持批量大小为256,就像在 3.6节 中一样。

from mxnet import gluon, init, npx
from mxnet.gluon import nn
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

3.7.1. 初始化模型参数

如我们在 3.4节 所述,softmax 回归的输出层是一个全连接层。因此,为了实现我们的模型,我们只需在 Sequential 中添加一个带有10个输出的全连接层。同样,在这里,Sequential 并不是必要的,但我们可能会形成这种习惯。因为在实现深度模型时,Sequential将无处不在。我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。

net = nn.Sequential()
net.add(nn.Dense(10))
net.initialize(init.Normal(sigma=0.01))
# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此,
# 我们在线性层前定义了展平层(flatten),来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);
net = tf.keras.models.Sequential()
net.add(tf.keras.layers.Flatten(input_shape=(28, 28)))
weight_initializer = tf.keras.initializers.RandomNormal(mean=0.0, stddev=0.01)
net.add(tf.keras.layers.Dense(10, kernel_initializer=weight_initializer))

3.7.2. 重新审视Softmax的实现

在前面 3.6节 的例子中,我们计算了模型的输出,然后将此输出送入交叉熵损失。从数学上讲,这是一件完全合理的事情。然而,从计算角度来看,指数可能会造成数值稳定性问题。

回想一下,softmax函数 \(\hat y_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}\),其中\(\hat y_j\)是预测的概率分布。\(o_j\)是未归一化的预测\(\mathbf{o}\)的第\(j\)个元素。如果\(o_k\)中的一些数值非常大,那么 \(\exp(o_k)\) 可能大于数据类型容许的最大数字(即 上溢(overflow))。这将使分母或分子变为inf(无穷大),我们最后遇到的是0、infnan(不是数字)的 \(\hat y_j\)。在这些情况下,我们不能得到一个明确定义的交叉熵的返回值。

解决这个问题的一个技巧是,在继续softmax计算之前,先从所有\(o_k\)中减去\(\max(o_k)\)。你可以证明每个 \(o_k\) 按常数进行的移动不会改变softmax的返回值。在减法和归一化步骤之后,可能有些 \(o_j\) 具有较大的负值。由于精度受限, \(\exp(o_j)\) 将有接近零的值,即 下溢(underflow)。这些值可能会四舍五入为零,使 \(\hat y_j\) 为零,并且使得 \(\log(\hat y_j)\) 的值为 -inf。反向传播几步后,我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan结果。

尽管我们要计算指数函数,但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。 通过将softmax和交叉熵结合在一起,可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。如下面的等式所示,我们避免计算\(\exp(o_j)\),而可以直接使用\(o_j\)。因为\(\log(\exp(\cdot))\)被抵消了。

(3.7.1)\[\begin{split}\begin{aligned} \log{(\hat y_j)} & = \log\left( \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}\right) \\ & = \log{(\exp(o_j))}-\log{\left( \sum_k \exp(o_k) \right)} \\ & = o_j -\log{\left( \sum_k \exp(o_k) \right)}. \end{aligned}\end{split}\]

我们也希望保留传统的softmax函数,以备我们需要评估通过模型输出的概率。 但是,我们没有将softmax概率传递到损失函数中,而是在交叉熵损失函数中传递未归一化的预测,并同时计算softmax及其对数,这是一件聪明的事情 “LogSumExp技巧”

loss = gluon.loss.SoftmaxCrossEntropyLoss()
loss = nn.CrossEntropyLoss()
loss = tf.keras.losses.SparseCategoricalCrossentropy(from_logits=True)

3.7.3. 优化算法

在这里,我们使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法。这与我们在线性回归例子中的相同,这说明了优化器的普适性。

trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'learning_rate': 0.1})
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)
trainer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=.1)

3.7.4. 训练

接下来我们调用 3.6节 中定义的训练函数来训练模型。

num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
../_images/output_softmax-regression-concise_75d138_51_0.svg
num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
../_images/output_softmax-regression-concise_75d138_54_0.svg
num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
../_images/output_softmax-regression-concise_75d138_57_0.svg

和以前一样,这个算法收敛到一个相当高的精度,而且这次的代码行比以前少了。

3.7.5. 小结

  • 使用高级 API,我们可以更简洁地实现 softmax 回归。

  • 从计算的角度来看,实现softmax回归比较复杂。在许多情况下,深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施,来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。

3.7.6. 练习

  1. 尝试调整超参数,例如批量大小、迭代周期数和学习率,并查看结果。

  2. 增加迭代周期的数量。为什么测试准确率会在一段时间后降低?我们怎么解决这个问题?