3.1. 线性回归
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回归(regression) 是指一类为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的方法。在自然科学和社会科学领域,回归经常用来表示输入和输出之间的关系。

在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测(prediction)有关。 当我们想预测一个数值时,就会涉及到回归问题。常见的例子包括:预测价格(房屋、股票等)、预测住院时间(针对住院病人)、预测需求(零售销量)等。但不是所有的预测都是回归问题。在后面的章节中,我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。

3.1.1. 线性回归的基本元素

线性回归 (linear regression)在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。它可以追溯到19世纪初。线性回归基于几个简单的假设:首先,假设自变量 \(\mathbf{x}\) 和因变量 \(y\) 之间的关系是线性的,即\(y\)可以表示为 \(\mathbf{x}\) 中元素的加权和,这里通常允许包含观测值的一些噪声;其次,我们假设任何噪声都比较正常,如噪声遵循正态分布。

为了解释线性回归,我们举一个实际的例子:我们希望根据房屋的面积(平方英尺)和房龄(年)来估算房屋价格(美元)。为了开发一个能预测房价的模型,我们需要收集一个真实的数据集。这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。在机器学习的术语中,该数据集称为 训练数据集(training data set)或训练集 (training set),每行数据(在这个例子中是与一次房屋交易相对应的数据)称为样本(sample),也可以称为数据点 (data point)或数据样本(data instance)。我们要试图预测的目标(在这个例子中是房屋价格)称为 标签(label)或 目标(target)。预测所依据的自变量(面积和房龄)称为 特征(features)或 协变量(covariates)。

通常,我们使用 \(n\) 来表示数据集中的样本数。对索引为 \(i\) 的样本,其输入表示为 \(\mathbf{x}^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)}]^\top\),其对应的标签是 \(y^{(i)}\)

3.1.1.1. 线性模型

线性假设是指目标(房屋价格)可以表示为特征(面积和房龄)的加权和,如下面的式子:

(3.1.1)\[\mathrm{price} = w_{\mathrm{area}} \cdot \mathrm{area} + w_{\mathrm{age}} \cdot \mathrm{age} + b.\]

(3.1.1) 中的\(w_{\mathrm{area}}\)\(w_{\mathrm{age}}\) 称为 权重(weight),\(b\) 称为 偏置(bias),或称为偏移量(offset)、截距(intercept)。权重决定了每个特征对我们预测值的影响。偏置是指当所有特征都取值为0时,预测值应该为多少。即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年,我们仍然需要偏置项。如果没有偏置项,我们模型的表达能力将受到限制。 严格来说, (3.1.1) 是输入特征的一个仿射变换(affine transformation)。仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换(linear transformation),并通过偏置项来进行平移(translation)。

给定一个数据集,我们的目标是寻找模型的权重 \(\mathbf{w}\) 和偏置 \(b\),使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定,仿射变换由所选权重和偏置确定。

有些学科往往只关注有少量特征的数据集。在这些学科中,建模时经常像这样通过长形式显式地表达。而在机器学习领域,我们通常使用的是高维数据集,建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含 \(d\) 个特征时,我们将预测结果 \(\hat{y}\)(通常使用 “尖角” 符号表示估计值)表示为:

(3.1.2)\[\hat{y} = w_1 x_1 + ... + w_d x_d + b.\]

将所有特征放到向量 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d\) 中,并将所有权重放到向量 \(\mathbf{w} \in \mathbb{R}^d\) 中,我们可以用点积形式来简洁地表达模型:

(3.1.3)\[\hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b.\]

(3.1.3) 中,向量 \(\mathbf{x}\) 对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵 \(\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}\) 可以很方便地引用我们整个数据集的 \(n\) 个样本。其中,\(\mathbf{X}\) 的每一行是一个样本,每一列是一种特征。

对于特征集合 \(\mathbf{X}\) ,预测值 \(\hat{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^n\) 可以通过矩阵-向量乘法表示为:

(3.1.4)\[{\hat{\mathbf{y}}} = \mathbf{X} \mathbf{w} + b\]

这个过程中的求和将使用广播机制(广播机制在 2.1.3节 中有详细介绍)。 给定训练数据特征 \(\mathbf{X}\) 和对应的已知标签 \(\mathbf{y}\) ,线性回归的目标是找到一组权重向量 \(\mathbf{w}\) 和偏置 \(b\)。当给定从\(\mathbf{X}\)的同分布中取样的新样本特征时,找到的权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

虽然我们相信给定 \(\mathbf{x}\) 预测 \(y\) 的最佳模型会是线性的,但我们很难找到一个有\(n\)个样本的真实数据集,其中对于所有的 \(1 \leq i \leq n\)\(y^{(i)}\) 完全等于 \(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)}+b\)。无论我们使用什么手段来观察特征 \(\mathbf{X}\) 和标签 \(\mathbf{y}\) ,都可能会出现少量的观测误差。因此,即使确信特征与标签的潜在关系是线性的,我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

在我们开始寻找最好的 模型参数(model parameters)\(\mathbf{w}\)\(b\) 之前,我们还需要两个东西:(1)一种模型质量的度量方式;(2)一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

3.1.1.2. 损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合(fit)数据之前,我们需要确定一个拟合程度的度量。损失函数 能够量化目标的实际值与预测 值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失,且数值越小表示损失越小,完美预测时的损失为0。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。当样本 \(i\) 的预测值为 \(\hat{y}^{(i)}\),其相应的真实标签为 \(y^{(i)}\) 时,平方误差可以定义为以下公式:

(3.1.5)\[l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2.\]

常数\(\frac{1}{2}\)不会带来本质的差别,但这样在形式上稍微简单一些,表现为当我们对损失函数求导后常数系数为1。由于训练数据集并不受我们控制,所以经验误差只是关于模型参数的函数。为了进一步说明,来看下面的例子。我们为一维情况下的回归问题绘制图像,如 图3.1.1 所示。

../_images/fit-linreg.svg

图3.1.1 用线性模型拟合数据。

由于平方误差函数中的二次方项,估计值 \(\hat{y}^{(i)}\) 和观测值 \(y^{(i)}\) 之间较大的差异将贡献更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量,我们需计算在训练集\(n\)个样本上的损失均值(也等价于求和)。

(3.1.6)\[L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.\]

在训练模型时,我们希望寻找一组参数 (\(\mathbf{w}^*, b^*\)),这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式:

(3.1.7)\[\mathbf{w}^*, b^* = \operatorname*{argmin}_{\mathbf{w}, b}\ L(\mathbf{w}, b).\]

3.1.1.3. 解析解

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同,线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来,这类解叫作解析解(analytical solution)。首先,我们将偏置 \(b\) 合并到参数 \(\mathbf{w}\) 中。合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。我们的预测问题是最小化 \(\|\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}\|^2\)。这在损失平面上只有一个临界点,这个临界点对应于整个区域的损失最小值。将损失关于\(\mathbf{w}\)的导数设为0,得到解析解(闭合形式):

(3.1.8)\[\mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y}.\]

像线性回归这样的简单问题存在解析解,但并不是所有的问题都存在解析解。解析解可以进行很好的数学分析,但解析解的限制很严格,导致它无法应用在深度学习里。

3.1.1.4. 小批量随机梯度下降

即使在我们无法得到解析解的情况下,我们仍然可以有效地训练模型。在许多任务上,那些难以优化的模型效果要更好。因此,弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。

本书中我们用到一种名为梯度下降(gradient descent)的方法,这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数(数据集中所有样本的损失均值)关于模型参数的导数(在这里也可以称为梯度)。但实际中的执行可能会非常慢:因为在每一次更新参数之前,我们必须遍历整个数据集。因此,我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本,这种变体叫做小批量随机梯度下降(minibatch stochastic gradient descent)。

在每次迭代中,我们首先随机抽样一个小批量\(\mathcal{B}\),它是由固定数量的训练样本组成的。然后,我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数(也可以称为梯度)。最后,我们将梯度乘以一个预先确定的正数\(\eta\),并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程(\(\partial\) 表示偏导数):

(3.1.9)\[(\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b).\]

总结一下,算法的步骤如下:(1)初始化模型参数的值,如随机初始化;(2)从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数,并不断迭代这一步骤。对于平方损失和仿射变换,我们可以明确地写成如下形式:

(3.1.10)\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}\end{split}\]

公式 (3.1.10) 中的\(\mathbf{w}\)\(\mathbf{x}\) 都是向量。在这里,更优雅的向量表示法比系数表示法(如 \(w_1, w_2, \ldots, w_d\))更具可读性。 \(|\mathcal{B}|\) 表示每个小批量中的样本数,这也称为批量大小(batch size)。\(\eta\) 表示 学习率(learning rate)。批量大小和学习率的值通常是手动预先指定,而不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为 超参数(hyperparameter)。 调参(hyperparameter tuning) 是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的,而训练迭代结果是在独立的验证数据集(validation dataset)上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后(或者直到满足某些其他停止条件后),我们记录下模型参数的估计值,表示为\(\hat{\mathbf{w}}, \hat{b}\)。但是,即使我们的函数确实是线性的且无噪声,这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛,但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。但是对于像深度神经网络这样复杂的模型来说,损失平面上通常包含多个最小值。幸运的是,出于某种原因,深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数,使得在 训练集 上的损失达到最小。事实上,更难做到的是找到一组参数,这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失,这一挑战被称为 泛化(generalization)。

3.1.1.5. 用学习到的模型进行预测

给定学习到的线性回归模型 \(\hat{\mathbf{w}}^\top \mathbf{x} + \hat{b}\),现在我们可以通过给定的房屋面积 \(x_1\) 和房龄 \(x_2\)来估计一个未包含在训练数据中的新房屋价格。给定特征估计目标的过程通常称为预测(prediction)或推断(inference)。

我们将尝试坚持使用预测这个词。虽然推断这个词已经成为深度学习的标准术语,但其实推断这个词有些用词不当。在统计学中,推断更多地表示基于数据集估计参数。当深度学习从业者与统计学家交谈时,术语的误用经常导致一些误解。

3.1.2. 矢量化加速

在训练我们的模型时,我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。为了实现这一点,需要我们对计算进行矢量化,从而利用线性代数库,而不是在Python中编写开销高昂的for循环。

%matplotlib inline
import math
import time
from mxnet import np
from d2l import mxnet as d2l
%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l
%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l

为了说明矢量化为什么如此重要,我们考虑对向量相加的两种方法。 我们实例化两个全1的1000维向量。在一种方法中,我们将使用Python的for循环遍历向量。在另一种方法中,我们将依赖对 + 的调用。

n = 10000
a = np.ones(n)
b = np.ones(n)
n = 10000
a = torch.ones(n)
b = torch.ones(n)
n = 10000
a = tf.ones(n)
b = tf.ones(n)

由于在本书中我们将频繁地进行运行时间的基准测试,所以让我们定义一个计时器。

class Timer:  #@save
    """记录多次运行时间。"""
    def __init__(self):
        self.times = []
        self.start()

    def start(self):
        """启动计时器。"""
        self.tik = time.time()

    def stop(self):
        """停止计时器并将时间记录在列表中。"""
        self.times.append(time.time() - self.tik)
        return self.times[-1]

    def avg(self):
        """返回平均时间。"""
        return sum(self.times) / len(self.times)

    def sum(self):
        """返回时间总和。"""
        return sum(self.times)

    def cumsum(self):
        """返回累计时间。"""
        return np.array(self.times).cumsum().tolist()

现在我们可以对工作负载进行基准测试。

首先,我们使用for循环,每次执行一位的加法。

c = np.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
'4.84781 sec'
c = torch.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.08911 sec'
c = tf.Variable(tf.zeros(n))
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i].assign(a[i] + b[i])
f'{timer.stop():.5f} sec'
'5.32556 sec'

或者,我们使用重载的 + 运算符来计算按元素的和。

timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.00044 sec'
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.00025 sec'
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.00035 sec'

结果很明显,第二种方法比第一种方法快得多。矢量化代码通常会带来数量级的加速。另外,我们将更多的数学运算放到库中,而无需自己编写那么多的计算,从而减少了出错的可能性。

3.1.3. 正态分布与平方损失

接下来,我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。

正态分布(normal distribution),也称为 高斯分布(Gaussian distribution),最早由德国数学家高斯(Gauss)应用于天文学研究。 正态分布和线性回归之间的关系很密切。 简单的说,若随机变量 \(x\) 具有均值 \(\mu\) 和方差 \(\sigma^2\)(标准差 \(\sigma\)),其正态分布概率密度函数如下:

(3.1.11)\[p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2\right).\]

下面我们定义一个Python函数来计算正态分布。

def normal(x, mu, sigma):
    p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
    return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

我们现在可视化正态分布。

# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)

# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
../_images/output_linear-regression_216540_55_0.svg
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)

# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
../_images/output_linear-regression_216540_58_0.svg
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)

# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
../_images/output_linear-regression_216540_61_0.svg

就像我们所看到的,改变均值会产生沿 \(x\) 轴的偏移,增加方差将会分散分布、降低其峰值。

均方误差损失函数(简称均方损失)可以用于线性回归的一个原因是:我们假设了观测中包含噪声,其中噪声服从正态分布。噪声正态分布如下式:

(3.1.12)\[y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2).\]

因此,我们现在可以写出通过给定的\(\mathbf{x}\)观测到特定\(y\)可能性(likelihood):

(3.1.13)\[P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right).\]

现在,根据最大似然估计法,参数 \(\mathbf{w}\)\(b\) 的最优值是使整个数据集的可能性最大的值:

(3.1.14)\[P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}).\]

根据最大似然估计法选择的估计量称为最大似然估计量 。 虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难,但是我们可以在不改变目标的前提下,通过最大化似然对数来简化。 由于历史原因,优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为 最小化负对数似然 \(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)\)。由此可以得到的数学公式是:

(3.1.15)\[-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2.\]

现在我们只需要假设\(\sigma\)是某个固定常数就可以忽略第一项,因为第一项不依赖于 \(\mathbf{w}\)\(b\)。现在第二项除了常数\(\frac{1}{\sigma^2}\)外,其余部分和前面介绍的平方误差损失是一样的。 幸运的是,上面式子的解并不依赖于 \(\sigma\)。因此,在高斯噪声的假设下,最小化均方误差等价于对线性模型的最大似然估计。

3.1.4. 从线性回归到深度网络

到目前为止,我们只谈论了线性模型。 尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型,我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型,从而把线性模型看作一个神经网络。 首先,让我们用“层”符号来重写这个模型。

3.1.4.1. 神经网络图

深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。 在 图3.1.2 中,我们将线性回归模型描述为一个神经网络。 需要注意的是,该图只显示连接模式,即只显示每个输入如何连接到输出,隐去了权重和偏置的值。

../_images/singleneuron.svg

图3.1.2 线性回归是一个单层神经网络。

图3.1.2 所示的神经网络中,输入为 \(x_1, \ldots, x_d\),因此输入层中的 输入数(或称为 特征维度 feature dimensionality)为 \(d\)。网络的输出为\(o_1\),因此输出层中的 输出数 是 1。需要注意的是,输入值都是已经给定的,并且只有一个计算 神经元。由于模型重点在发生计算的地方,所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。也就是说, 图3.1.2 中神经网络的 层数 为1。我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络,或称为单层神经网络。

对于线性回归,每个输入都与每个输出(在本例中只有一个输出)相连,我们将这种变换( 图3.1.2 中的输出层)称为 全连接层(fully-connected layer)(或称为 稠密层 dense layer)。下一章将详细讨论由这些层组成的网络。

3.1.4.2. 生物学

线性回归发明的时间(1795年)早于计算神经科学,所以将线性回归描述为神经网络似乎不合适。 当控制学家、神经生物学家沃伦·麦库洛奇和沃尔特·皮茨开始开发人工神经元模型时,他们为什么将线性模型作为一个起点呢?我们来看一张图片 图3.1.3 ,这是一张由树突(dendrites,输入终端)、细胞核(nucleus,CPU)组成的生物神经元图片。轴突(axon,输出线)和轴突端子(axon terminals,输出端子)通过突触(synapses)与其他神经元连接。

../_images/neuron.svg

图3.1.3 真实的神经元。

树突中接收到来自其他神经元(或视网膜等环境传感器)的信息\(x_i\)。该信息通过突触权重 \(w_i\)来加权,以确定输入的影响(即,通过\(x_i w_i\)相乘来激活或抑制)。 来自多个源的加权输入以加权和\(y = \sum_i x_i w_i + b\)的形式汇聚在细胞核中,然后将这些信息发送到轴突 \(y\) 中进一步处理,通常会通过 \(\sigma(y)\) 进行一些非线性处理。之后,它要么到达目的地(例如肌肉),要么通过树突进入另一个神经元。

当然,许多这样的单元可以通过正确连接和正确的学习算法拼凑在一起,从而产生的行为会比单独一个神经元所产生的行为更有趣、更复杂,这种想法归功于我们对真实生物神经系统的研究。

当今大多数深度学习的研究几乎没有直接从神经科学中获得灵感。我们援引斯图尔特·罗素和彼得·诺维格谁,在他们的经典人工智能教科书 Artificial Intelligence: A Modern Approach [Russell & Norvig, 2016] 中所说:虽然飞机可能受到鸟类的启发。但几个世纪以来,鸟类学并不是航空创新的主要驱动力。同样地,如今在深度学习中的灵感同样或更多地来自数学、统计学和计算机科学。

3.1.5. 小结

  • 机器学习模型中的关键要素是训练数据,损失函数,优化算法,还有模型本身。

  • 矢量化使数学表达上更简洁,同时运行的更快。

  • 最小化目标函数和执行最大似然估计等价。

  • 线性回归模型也是神经网络。

3.1.6. 练习

  1. 假设我们有一些数据 \(x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}\)。我们的目标是找到一个常数\(b\),使得最小化 \(\sum_i (x_i - b)^2\)

    1. 找到最优值 \(b\) 的解析解。

    2. 这个问题及其解与正态分布有什么关系?

  2. 推导出使用平方误差的线性回归优化问题的解析解。为了简化问题,可以忽略偏置\(b\)(我们可以通过向 \(\mathbf X\) 添加所有值为1的一列来做到这一点)。

    1. 用矩阵和向量表示法写出优化问题(将所有数据视为单个矩阵,将所有目标值视为单个向量)。

    2. 计算损失对\(w\)的梯度。

    3. 通过将梯度设为0、求解矩阵方程来找到解析解。

    4. 什么时候可能比使用随机梯度下降更好?这种方法何时会失效?

  3. 假定控制附加噪声 \(\epsilon\) 的噪声模型是指数分布。也就是说,\(p(\epsilon) = \frac{1}{2} \exp(-|\epsilon|)\)

    1. 写出模型 \(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)\) 下数据的负对数似然。

    2. 你能写出解析解吗?

    3. 提出一种随机梯度下降算法来解决这个问题。哪里可能出错?(提示:当我们不断更新参数时,在驻点附近会发生什么情况)你能解决这个问题吗?