.. _sec_softmax_concise:

softmax回归的简洁实现
=====================


在 :numref:`sec_linear_concise`\ 中，
我们发现通过深度学习框架的高级API能够使实现

线性回归变得更加容易。
同样，通过深度学习框架的高级API也能更方便地实现softmax回归模型。
本节如在 :numref:`sec_softmax_scratch`\ 中一样，
继续使用Fashion-MNIST数据集，并保持批量大小为256。



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    <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-1-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-1-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-1-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a><a href="#paddle-1-3" onclick="tagClick('paddle'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">paddle</a></div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-1-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    from mxnet import gluon, init, npx
    from mxnet.gluon import nn
    from d2l import mxnet as d2l
    
    npx.set_np()
    
    batch_size = 256
    train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)


.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    [07:03:36] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU




.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-1-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    import torch
    from torch import nn
    from d2l import torch as d2l
    
    batch_size = 256
    train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-1-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    import tensorflow as tf
    from d2l import tensorflow as d2l
    
    batch_size = 256
    train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="paddle-1-3">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    import warnings
    from d2l import paddle as d2l
    
    warnings.filterwarnings("ignore")
    import paddle
    from paddle import nn
    
    batch_size = 256
    train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)


.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    Cache file /home/ci/.cache/paddle/dataset/fashion-mnist/train-images-idx3-ubyte.gz not found, downloading https://dataset.bj.bcebos.com/fashion_mnist/train-images-idx3-ubyte.gz 
    Begin to download
    item 6451/6451 [============================>.] - ETA: 0s - 3ms/item
    Download finished
    Cache file /home/ci/.cache/paddle/dataset/fashion-mnist/train-labels-idx1-ubyte.gz not found, downloading https://dataset.bj.bcebos.com/fashion_mnist/train-labels-idx1-ubyte.gz 
    Begin to download
    item 8/8 [============================>.] - ETA: 0s - 53ms/item
    Download finished
    Cache file /home/ci/.cache/paddle/dataset/fashion-mnist/t10k-images-idx3-ubyte.gz not found, downloading https://dataset.bj.bcebos.com/fashion_mnist/t10k-images-idx3-ubyte.gz 
    Begin to download
    item 1080/1080 [============================>.] - ETA: 0s - 12ms/item
    Download finished
    Cache file /home/ci/.cache/paddle/dataset/fashion-mnist/t10k-labels-idx1-ubyte.gz not found, downloading https://dataset.bj.bcebos.com/fashion_mnist/t10k-labels-idx1-ubyte.gz 
    Begin to download
    item 2/2 [=========================>....] - ETA: 0s - 2ms/item
    Download finished




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    </div>



.. raw:: html

    </div>

初始化模型参数
--------------

如我们在 :numref:`sec_softmax`\ 所述，
softmax回归的输出层是一个全连接层。 因此，为了实现我们的模型，
我们只需在\ ``Sequential``\ 中添加一个带有10个输出的全连接层。
同样，在这里\ ``Sequential``\ 并不是必要的， 但它是实现深度模型的基础。
我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。



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    <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-3-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-3-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-3-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a><a href="#paddle-3-3" onclick="tagClick('paddle'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">paddle</a></div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-3-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    net = nn.Sequential()
    net.add(nn.Dense(10))
    net.initialize(init.Normal(sigma=0.01))



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-3-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    # PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
    # 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
    net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))
    
    def init_weights(m):
        if type(m) == nn.Linear:
            nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)
    
    net.apply(init_weights);



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-3-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    net = tf.keras.models.Sequential()
    net.add(tf.keras.layers.Flatten(input_shape=(28, 28)))
    weight_initializer = tf.keras.initializers.RandomNormal(mean=0.0, stddev=0.01)
    net.add(tf.keras.layers.Dense(10, kernel_initializer=weight_initializer))



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="paddle-3-3">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))
    
    def init_weights(m):
        if type(m) == nn.Linear:
            nn.initializer.Normal(m.weight, std=0.01)
    
    net.apply(init_weights);



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    </div>

.. _subsec_softmax-implementation-revisited:

重新审视Softmax的实现
---------------------


在前面 :numref:`sec_softmax_scratch`\ 的例子中，
我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。
从数学上讲，这是一件完全合理的事情。
然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。

回想一下，softmax函数\ :math:`\hat y_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}`\ ，
其中\ :math:`\hat y_j`\ 是预测的概率分布。
:math:`o_j`\ 是未规范化的预测\ :math:`\mathbf{o}`\ 的第\ :math:`j`\ 个元素。
如果\ :math:`o_k`\ 中的一些数值非常大，
那么\ :math:`\exp(o_k)`\ 可能大于数据类型容许的最大数字，即\ *上溢*\ （overflow）。
这将使分母或分子变为\ ``inf``\ （无穷大），
最后得到的是0、\ ``inf``\ 或\ ``nan``\ （不是数字）的\ :math:`\hat y_j`\ 。
在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。

解决这个问题的一个技巧是：
在继续softmax计算之前，先从所有\ :math:`o_k`\ 中减去\ :math:`\max(o_k)`\ 。
这里可以看到每个\ :math:`o_k`\ 按常数进行的移动不会改变softmax的返回值：

.. math::


   \begin{aligned}
   \hat y_j & =  \frac{\exp(o_j - \max(o_k))\exp(\max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))\exp(\max(o_k))} \\
   & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}.
   \end{aligned}

在减法和规范化步骤之后，可能有些\ :math:`o_j - \max(o_k)`\ 具有较大的负值。
由于精度受限，\ :math:`\exp(o_j - \max(o_k))`\ 将有接近零的值，即\ *下溢*\ （underflow）。
这些值可能会四舍五入为零，使\ :math:`\hat y_j`\ 为零，
并且使得\ :math:`\log(\hat y_j)`\ 的值为\ ``-inf``\ 。
反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的\ ``nan``\ 结果。

尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。
通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。
如下面的等式所示，我们避免计算\ :math:`\exp(o_j - \max(o_k))`\ ，
而可以直接使用\ :math:`o_j - \max(o_k)`\ ，因为\ :math:`\log(\exp(\cdot))`\ 被抵消了。

.. math::


   \begin{aligned}
   \log{(\hat y_j)} & = \log\left( \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}\right) \\
   & = \log{(\exp(o_j - \max(o_k)))}-\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)} \\
   & = o_j - \max(o_k) -\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)}.
   \end{aligned}

我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。
但是，我们没有将softmax概率传递到损失函数中，
而是在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算softmax及其对数，
这是一种类似\ `“LogSumExp技巧” <https://en.wikipedia.org/wiki/LogSumExp>`__\ 的聪明方式。



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-5-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-5-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-5-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a><a href="#paddle-5-3" onclick="tagClick('paddle'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">paddle</a></div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-5-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    loss = gluon.loss.SoftmaxCrossEntropyLoss()



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-5-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-5-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    loss = tf.keras.losses.SparseCategoricalCrossentropy(from_logits=True)



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="paddle-5-3">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    </div>

优化算法
--------

在这里，我们使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法。
这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-7-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-7-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-7-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a><a href="#paddle-7-3" onclick="tagClick('paddle'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">paddle</a></div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-7-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'learning_rate': 0.1})



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-7-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-7-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    trainer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=.1)



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="paddle-7-3">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    trainer = paddle.optimizer.SGD(learning_rate=0.1, parameters=net.parameters())



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    </div>

训练
----

接下来我们调用 :numref:`sec_softmax_scratch`\ 中
定义的训练函数来训练模型。



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-9-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-9-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-9-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a><a href="#paddle-9-3" onclick="tagClick('paddle'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">paddle</a></div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-9-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    num_epochs = 10
    d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)



.. figure:: output_softmax-regression-concise_75d138_63_0.svg




.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-9-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    num_epochs = 10
    d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)



.. figure:: output_softmax-regression-concise_75d138_66_0.svg




.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-9-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    num_epochs = 10
    d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)



.. figure:: output_softmax-regression-concise_75d138_69_0.svg




.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="paddle-9-3">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    num_epochs = 10
    d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)



.. figure:: output_softmax-regression-concise_75d138_72_0.svg




.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    </div>

和以前一样，这个算法使结果收敛到一个相当高的精度，而且这次的代码比之前更精简了。

小结
----

-  使用深度学习框架的高级API，我们可以更简洁地实现softmax回归。
-  从计算的角度来看，实现softmax回归比较复杂。在许多情况下，深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施，来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。

练习
----

1. 尝试调整超参数，例如批量大小、迭代周期数和学习率，并查看结果。
2. 增加迭代周期的数量。为什么测试精度会在一段时间后降低？我们怎么解决这个问题？



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar text"><a href="#mxnet-11-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-11-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-11-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a><a href="#paddle-11-3" onclick="tagClick('paddle'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">paddle</a></div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-11-0">

`Discussions <https://discuss.d2l.ai/t/1794>`__



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-11-1">

`Discussions <https://discuss.d2l.ai/t/1793>`__



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-11-2">

`Discussions <https://discuss.d2l.ai/t/1792>`__



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    <div class="mdl-tabs__panel " id="paddle-11-3">

`Discussions <https://discuss.d2l.ai/t/11761>`__



.. raw:: html

    </div>



.. raw:: html

    </div>