.. _sec_pooling:
汇聚层
======
通常当我们处理图像时,我们希望逐渐降低隐藏表示的空间分辨率、聚集信息,这样随着我们在神经网络中层叠的上升,每个神经元对其敏感的感受野(输入)就越大。
而我们的机器学习任务通常会跟全局图像的问题有关(例如,“图像是否包含一只猫呢?”),所以我们最后一层的神经元应该对整个输入的全局敏感。通过逐渐聚合信息,生成越来越粗糙的映射,最终实现学习全局表示的目标,同时将卷积图层的所有优势保留在中间层。
此外,当检测较底层的特征时(例如
:numref:`sec_conv_layer`\ 中所讨论的边缘),我们通常希望这些特征保持某种程度上的平移不变性。例如,如果我们拍摄黑白之间轮廓清晰的图像\ ``X``\ ,并将整个图像向右移动一个像素,即\ ``Z[i, j] = X[i, j + 1]``\ ,则新图像\ ``Z``\ 的输出可能大不相同。而在现实中,随着拍摄角度的移动,任何物体几乎不可能发生在同一像素上。即使用三脚架拍摄一个静止的物体,由于快门的移动而引起的相机振动,可能会使所有物体左右移动一个像素(除了高端相机配备了特殊功能来解决这个问题)。
本节将介绍\ *汇聚*\ (pooling)层,它具有双重目的:降低卷积层对位置的敏感性,同时降低对空间降采样表示的敏感性。
最大汇聚层和平均汇聚层
----------------------
与卷积层类似,汇聚层运算符由一个固定形状的窗口组成,该窗口根据其步幅大小在输入的所有区域上滑动,为固定形状窗口(有时称为\ *汇聚窗口*\ )遍历的每个位置计算一个输出。
然而,不同于卷积层中的输入与卷积核之间的互相关计算,汇聚层不包含参数。
相反,池运算是确定性的,我们通常计算汇聚窗口中所有元素的最大值或平均值。这些操作分别称为\ *最大汇聚层*\ (maximum
pooling)和\ *平均汇聚层*\ (average pooling)。
在这两种情况下,与互相关运算符一样,汇聚窗口从输入张量的左上角开始,从左往右、从上往下的在输入张量内滑动。在汇聚窗口到达的每个位置,它计算该窗口中输入子张量的最大值或平均值。计算最大值或平均值是取决于使用了最大汇聚层还是平均汇聚层。
.. _fig_pooling:
.. figure:: ../img/pooling.svg
汇聚窗口形状为 :math:`2\times 2`
的最大汇聚层。着色部分是第一个输出元素,以及用于计算这个输出的输入元素:
:math:`\max(0, 1, 3, 4)=4`.
:numref:`fig_pooling`\ 中的输出张量的高度为\ :math:`2`\ ,宽度为\ :math:`2`\ 。这四个元素为每个汇聚窗口中的最大值:
.. math::
\max(0, 1, 3, 4)=4,\\
\max(1, 2, 4, 5)=5,\\
\max(3, 4, 6, 7)=7,\\
\max(4, 5, 7, 8)=8.\\
汇聚窗口形状为\ :math:`p \times q`\ 的汇聚层称为\ :math:`p \times q`\ 汇聚层,汇聚操作称为\ :math:`p \times q`\ 汇聚。
回到本节开头提到的对象边缘检测示例,现在我们将使用卷积层的输出作为\ :math:`2\times 2`\ 最大汇聚的输入。
设置卷积层输入为\ ``X``\ ,汇聚层输出为\ ``Y``\ 。
无论\ ``X[i, j]``\ 和\ ``X[i, j + 1]``\ 的值相同与否,或\ ``X[i, j + 1]``\ 和\ ``X[i, j + 2]``\ 的值相同与否,汇聚层始终输出\ ``Y[i, j] = 1``\ 。
也就是说,使用\ :math:`2\times 2`\ 最大汇聚层,即使在高度或宽度上移动一个元素,卷积层仍然可以识别到模式。
在下面的代码中的\ ``pool2d``\ 函数,我们实现汇聚层的前向传播。 这类似于
:numref:`sec_conv_layer`\ 中的\ ``corr2d``\ 函数。
然而,这里我们没有卷积核,输出为输入中每个区域的最大值或平均值。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
from mxnet import np, npx
from mxnet.gluon import nn
from d2l import mxnet as d2l
npx.set_np()
def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
p_h, p_w = pool_size
Y = np.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
if mode == 'max':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
elif mode == 'avg':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
return Y
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
p_h, p_w = pool_size
Y = torch.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
if mode == 'max':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
elif mode == 'avg':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
return Y
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.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
import tensorflow as tf
def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
p_h, p_w = pool_size
Y = tf.Variable(tf.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w +1)))
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
if mode == 'max':
Y[i, j].assign(tf.reduce_max(X[i: i + p_h, j: j + p_w]))
elif mode =='avg':
Y[i, j].assign(tf.reduce_mean(X[i: i + p_h, j: j + p_w]))
return Y
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.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
import warnings
from d2l import paddle as d2l
warnings.filterwarnings("ignore")
import paddle
from paddle import nn
def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
p_h, p_w = pool_size
Y = paddle.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
if mode == 'max':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
elif mode == 'avg':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
return Y
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.. raw:: html
我们可以构建
:numref:`fig_pooling`\ 中的输入张量\ ``X``\ ,验证二维最大汇聚层的输出。
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.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
X = np.array([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
[07:22:08] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
array([[4., 5.],
[7., 8.]])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
tensor([[4., 5.],
[7., 8.]])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
X = tf.constant([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
X = paddle.to_tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
Tensor(shape=[2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[4., 5.],
[7., 8.]])
.. raw:: html
.. raw:: html
此外,我们还可以验证平均汇聚层。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
array([[2., 3.],
[5., 6.]])
.. raw:: html
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.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
tensor([[2., 3.],
[5., 6.]])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
Tensor(shape=[2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[2., 3.],
[5., 6.]])
.. raw:: html
.. raw:: html
填充和步幅
----------
与卷积层一样,汇聚层也可以改变输出形状。和以前一样,我们可以通过填充和步幅以获得所需的输出形状。
下面,我们用深度学习框架中内置的二维最大汇聚层,来演示汇聚层中填充和步幅的使用。
我们首先构造了一个输入张量\ ``X``\ ,它有四个维度,其中样本数和通道数都是1。
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.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
X = np.arange(16, dtype=np.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
array([[[[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
X = torch.arange(16, dtype=torch.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
tensor([[[[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
请注意,Tensorflow采用“通道最后”(channels-last)语法,对其进行优化,
(即Tensorflow中输入的最后维度是通道)。
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
X = tf.reshape(tf.range(16, dtype=tf.float32), (1, 4, 4, 1))
X
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
X = paddle.arange(16, dtype="float32").reshape((1, 1, 4, 4))
X
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
Tensor(shape=[1, 1, 4, 4], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[[[0. , 1. , 2. , 3. ],
[4. , 5. , 6. , 7. ],
[8. , 9. , 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
默认情况下,深度学习框架中的步幅与汇聚窗口的大小相同。
因此,如果我们使用形状为\ ``(3, 3)``\ 的汇聚窗口,那么默认情况下,我们得到的步幅形状为\ ``(3, 3)``\ 。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = nn.MaxPool2D(3)
# 由于汇聚层中没有参数,所以不需要调用初始化函数
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
array([[[[10.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = nn.MaxPool2d(3)
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
tensor([[[[10.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[3, 3])
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = nn.MaxPool2D(3, stride=3)
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
Tensor(shape=[1, 1, 1, 1], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[[[10.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
填充和步幅可以手动设定。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = nn.MaxPool2D(3, padding=1, strides=2)
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
array([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]]]])
当然,我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口,并分别设定填充和步幅的高度和宽度。
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = nn.MaxPool2D((2, 3), padding=(0, 1), strides=(2, 3))
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
array([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
tensor([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]]]])
当然,我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口,并分别设定填充和步幅的高度和宽度。
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = nn.MaxPool2d((2, 3), stride=(2, 3), padding=(0, 1))
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
tensor([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
paddings = tf.constant([[0, 0], [1,0], [1,0], [0,0]])
X_padded = tf.pad(X, paddings, "CONSTANT")
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[3, 3], padding='valid',
strides=2)
pool2d(X_padded)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
当然,我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口,并分别设定填充和步幅的高度和宽度。
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
paddings = tf.constant([[0, 0], [0, 0], [1, 1], [0, 0]])
X_padded = tf.pad(X, paddings, "CONSTANT")
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[2, 3], padding='valid',
strides=(2, 3))
pool2d(X_padded)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = nn.MaxPool2D(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
Tensor(shape=[1, 1, 2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[[[5. , 7. ],
[13., 15.]]]])
当然,我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口,并分别设定填充和步幅的高度和宽度。
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = nn.MaxPool2D((2, 3), padding=(0, 1), stride=(2, 3))
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
Tensor(shape=[1, 1, 2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[[[5. , 7. ],
[13., 15.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
多个通道
--------
在处理多通道输入数据时,汇聚层在每个输入通道上单独运算,而不是像卷积层一样在通道上对输入进行汇总。
这意味着汇聚层的输出通道数与输入通道数相同。
下面,我们将在通道维度上连结张量\ ``X``\ 和\ ``X + 1``\ ,以构建具有2个通道的输入。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
X = np.concatenate((X, X + 1), 1)
X
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
array([[[[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]],
[[ 1., 2., 3., 4.],
[ 5., 6., 7., 8.],
[ 9., 10., 11., 12.],
[13., 14., 15., 16.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
X = torch.cat((X, X + 1), 1)
X
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
tensor([[[[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]],
[[ 1., 2., 3., 4.],
[ 5., 6., 7., 8.],
[ 9., 10., 11., 12.],
[13., 14., 15., 16.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
请注意,由于TensorFlow采用“通道最后”(channels-last)的语法,
我们需要沿输入的最后一个维度进行串联。
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
X = tf.concat([X, X + 1], 3)
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
X = paddle.concat((X, X + 1), 1)
X
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
Tensor(shape=[1, 2, 4, 4], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[[[0. , 1. , 2. , 3. ],
[4. , 5. , 6. , 7. ],
[8. , 9. , 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]],
[[1. , 2. , 3. , 4. ],
[5. , 6. , 7. , 8. ],
[9. , 10., 11., 12.],
[13., 14., 15., 16.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
如下所示,汇聚后输出通道的数量仍然是2。
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.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = nn.MaxPool2D(3, padding=1, strides=2)
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
array([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]],
[[ 6., 8.],
[14., 16.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
tensor([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]],
[[ 6., 8.],
[14., 16.]]]])
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
paddings = tf.constant([[0, 0], [1,0], [1,0], [0,0]])
X_padded = tf.pad(X, paddings, "CONSTANT")
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[3, 3], padding='valid',
strides=2)
pool2d(X_padded)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
请注意,上面的输出乍一看似乎有所不同,但MXNet和PyTorch的结果从数值上是相同的。
不同之处在于维度,垂直读取输出会产生与其他实现相同的输出。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
pool2d = paddle.nn.MaxPool2D(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
Tensor(shape=[1, 2, 2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[[[5. , 7. ],
[13., 15.]],
[[6. , 8. ],
[14., 16.]]]])
.. raw:: html
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小结
----
- 对于给定输入元素,最大汇聚层会输出该窗口内的最大值,平均汇聚层会输出该窗口内的平均值。
- 汇聚层的主要优点之一是减轻卷积层对位置的过度敏感。
- 我们可以指定汇聚层的填充和步幅。
- 使用最大汇聚层以及大于1的步幅,可减少空间维度(如高度和宽度)。
- 汇聚层的输出通道数与输入通道数相同。
练习
----
1. 尝试将平均汇聚层作为卷积层的特殊情况实现。
2. 尝试将最大汇聚层作为卷积层的特殊情况实现。
3. 假设汇聚层的输入大小为\ :math:`c\times h\times w`\ ,则汇聚窗口的形状为\ :math:`p_h\times p_w`\ ,填充为\ :math:`(p_h, p_w)`\ ,步幅为\ :math:`(s_h, s_w)`\ 。这个汇聚层的计算成本是多少?
4. 为什么最大汇聚层和平均汇聚层的工作方式不同?
5. 我们是否需要最小汇聚层?可以用已知函数替换它吗?
6. 除了平均汇聚层和最大汇聚层,是否有其它函数可以考虑(提示:回想一下\ ``softmax``\ )?为什么它不流行?
.. raw:: html
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`Discussions `__
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`Discussions `__
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`Discussions `__
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`Discussions `__
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